1.4 Vektoreiden ja matriisien laskusäännöt

Vektorilaskennan perusoperaatiot: vektorien x,y  F summa

ja skalaarilla   F kertominenmääritellään luonnolliseen tapaan

Interaktiivinen harjoitus 1.4.1. Vektoreiden yhteenlasku.

Vastaavasti, jos matriisit A,B  F , niin matriisien summa on

A+B = (a ) + (b ) = (a b )

ja skalaarilla kertominen tapahtuu samoin komponenteittain

= ( a ).

Kun merkitään -A = (-1)A, niin voidaan määritellä matriisien A,B  F erotus.

A-B = A+ (-1)B.

Interaktiivinen harjoitus 1.4.2. Skalaarilla kertominen.

Esimerkki 1.4.1 Kun ostaa kaupasta 100g ahventa ja 200g haukea, suorittaa samalla seuraavan vektorilaskuoperaation

Saatu vektori osoittaa koko ostoksien ravintoainemäärät.

Interaktiivinen harjoitus 1.4.3. Matriisien yhteenlasku.

Matriisien A  F ja B    F tulo C = AB  F on

i:s ja j:s vaaka- ja pystyrivi

Lause 1.4.1. Dimensioiltaan sopiville matriiseille (ts. matriiseille joille ao. kertolaskut ja yhteenlaskut on sallittu) pätee:

Todistus. Todistetaan viimeinen yhtälö ja jätetään muut harjoitustehtäviksi. (Toinen yhtälö on hankala, muut ovat helpompia todistaa)

(A+B)=(a )+(b )=(a +b )=(b +a )=(B+A)

Lauseen 1.1 perusteella matriisin yhteenlasku on assosiatiivinen ja voidaan suorittaa missä tahansa järjestyksessä, sillä

(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

eikä sulkuja tarvita laskujärjestyksen osittamiseen. Lauseen 1.4.1 toisen kohdan perusteella myös kertolasku on assosiatiivinen.

Harjoitus 1.4.1 Matriisituloa AB, missä A on nxp ja B pxm matriisi, on usein mukava tarkastella kirjoittamalla B sarakevektorien avulla:

B=[b , b ,...,b ],

jolloin

AB=[Ab , Ab ,..., Ab ],

tai kirjoittamalla A vaakarivivektorien avulla:

Sen sijaan tämä yhtälö ei päde

BA=[b A, b A,..., b A],

miksi?

Huomautus. 1.4.1 Tulon määritelmän perusteella havaitaan, että alakolmiomatriisien tulo on alakolmiomatriisi ja erityisesti, jos tulon tekijöiden diagonaalialkiot ovat ykkösiä, niin tulon diagonaalialkiot ovat myös ykkösen suuruisia.

Interaktiivinen harjoitus 1.4.4. Matriisien kertolasku.

Harjoitus 1.4.2 Olkoot = (A ) ja = (B ) dimensioiltaan ja lohkoiltaan sopivia matriiseja. Tällöin = AB = (C ) on lohkomatriisi jonka lohkot ovat

Huomautus 1.4.2. Vektoria x  F voidaan pitää nx1 matriisina, jolloin tulo Ax on määritelty edellisillä kaavoilla. Matriisi-vektoritulon Ax laskeminen voidaan edellisten lisäksi suorittaa mm. seuraavalla tavalla:

Dimensioiltaan yhteensopivien matriisien laskusäännöt muistuttavat reaalilukujen laskusääntöjä. Matriisitulo ei kuitenkaan ole vaihdannainen, sillä yleensä AB   BA. Jos

AB = BA,

sanotaan että matriisit A ja B kommutoivat.

Harjoitus 1.4.3 Osoita, että matriisin A i:s sarake a saadaan kertomalla e matriisilla A, ts.

Ae = a .

Harjoitus 1.4.4 Todista lauseen 1.4.1 toinen kohta ( (AB)C=A(BC) ).

Vihje: 1) Osoita, että (AB)e =A(Be ) Tämä seuraa harjoituksen 1.4.3 ja 1.4.1 perusteella.

2) Koska jokainen vektori c= c e +c e +..+c e , niin jokaiselle vektorille pätee (AB)c=A(Bc)

3) Harjoituksen 1.4.1 avulla tulos yleistyy matriiseille C.

Harjoitus 1.4.5 Mitkä ovat kommutoivien matriisien dimensiot?

Lause 1.4.2 Transpoosi ja konjugaattitranspoosi toteuttavat yhtälöt

a) (AB) B A (AB)* = B*A*

b) (A+B) A +B (A+B)* = A*+B*.

Todistus. b-kohdan väitteet seuraavat suoraan yhteenlaskun ja transpoosin laskusääntöjen nojalla. a-kohdan väitteet todistetaan helposti transpoosin määritelmän ja harjoituksen 1.4.1 tuloksen avulla. c-kohta on helppo.

Neliömatriisin A potenssitmääritellään kertolaskun avulla:

A = A A .....A (k kappaletta).

Määritelmä. Neliömatriisi A on nilpotentti, jos jollakin luonnollisella luvulla kpätee

A  = 0.

Jos A  = A, niin A on idempotentti.

Esimerkki 1.4.2 Matriisi

on nilpotentti ja idempotentti.

Laskenta-aikoja. Tietoneella suoritettavan laskennan kestoa voidaan arvioida, kun tunnetaan eri laskutoimituksiin tarvittavien operaatioiden lukumäärä. Niitä voidaan arvioida flopsien avulla. Yksi flops muodostuu yhdestä kerto- ja yhdestä yhteenlaskusta, siis skalaari operaatioiden x*y+z laskemisesta. Seuraavat kaavat ovat hyödyllisiä flopseja laskettaessa

Koska olemme kiinnostuneita vain suuruusluokasta, yleensä korkeimmat n:n potenssit riittävät flopseja laskettaessa.

Suoraan laskemalla havaitaan, että kahden (nxn) neliömatriisin

A,B kertolaskuun AB tarvitaan n*n = n flopsia.

(Arvioon otetaan vain n:n korkein potensi). Arvio osoittaa, että suurten matriisien kertominen käy hitaaksi. Jos n=1000, niin n = 10 . Jos yhden flopin laskeminen kestää 10 sekuntia, vie kertominen jo 1000 sekuntia! Vastaavasti

matriisi-vektoritulon A x laskeminen vie n*n=n flopsia.

Jos A on nxn yläkolmio- tai alakolmiomatriisi, niin matriisi-vektoritulon laskeminen vie n /2 flopsia.