1. JOHDANTO

Tässä kappaleessa esitetään matriisilaskennan peruskäsitteitä. Useat niistä lienevät lukijalle tuttuja aikaisemmista matematiikan kursseista. Esitettyjen käsitteiden ja määritelmien hallinta on valitettavasti välttämätöntä jäljempänä esitettävän matriisilaskennan ymmärtämiseksi. Siksi onkin suositeltavaa opetetella ja kerrata ja kerrata ja opetella käsitteet tästä ja nyt. Voisimme noudattaa vaikkapa kasaarisanakirjan [1]johdannossa mainittua menetelmää, jonka mukaan tekijä istuu kirjoittamaan näitä huomautuksia ennen illallista ja lukija ryhtyy lukemaan niitä illallisen jälkeen. Siten nälkä saa kirjoittajan esittämään asian lyhyesti eikä teksti tunnu kylläisestä lukijasta liian pitkältä.

Usein esitetään kysymys siitä, mitä hyötyä on matematiikan opiskelusta. Tähän monitahoiseen kysymykseen liittyvät seuraavat kaksi hyödyllistä tarinaa.

Kaksi henkilöä eksyi metsään. Paremman puutteessa rupesivat he huhuilemaan.

-Ho hoi - missä me olemme!

Pitkän ajan kuluttua kaukaa kuului aavemainen vastaus.

-Te olette eksyksissä.

Silloin toinen henkilö kääntyi toisen puoleen ja sanoi

-Tuo vastaus on matemaatikon antama.

-Kuinka niin, toinen ihmetteli.

-Kolmesta syystä: ensinnä vastauksen saaminen kesti kauan, toiseksi vastaus on täsmälleen oikea, kolmanneksi se on täysin hyödytön.

Kerran Itä-Suomessa talon pihaan ajoi ulkomaalainen turisti ja kysyi tietä. Aluksi saksaksi, sitten englanniksi, ranskaksi, espanjaksi ja kaikilla osaamillaan kielillä, mutta talon isäntä vain puisteli päätänsä kun ei ymmärtänyt. Lopulta kimpaantunut matkalainen kaasutti tiehensä.

- Osasipas turisti montaa kieltä, sanoi emäntä.

- Vaan eipä siitä sille mitään hyötyä ollut, tokaisi isäntä.

Vakavasti puhuen käsillä olevassa matriisilaskennan monisteessa esitettävien uusien asioiden ohella pyritään lyhyesti kertaamaan ne matriisilaskennan osat, jotka TTKK:n aikaisemmilla matematiikan kursseilla (lähinnä Matematiikka 1a ja Matematiikka 2a) on käsitelty. Kurssien nyt muuttuessa ja perusopetuksen jakautuessa pitkään ja lyhyempään matematiikkaan tullaan tätä monistetta täydentämään, niin että siitä muodostuu kattava esitys matriisilaskennasta. Lähtötiedoiltaan eritasoiset lukijat voivat lukea monistetta eri paikoista ja eri tavoin. Tätä tukee myös kurssin hypermediaesitys, mikä löytyy www:stä osoitteesta http://matwww.ee.tut.fi/. Siitä on olemassa myös kehittyneempi Macintosh versio, jota voi tiedustella matematiikan laitokselta ja hypermedialaboratoriosta. Hypermediakurssi sisältää monisteen hypertekstinä, vihjeistettyjä harjoituksia, tietokoneen generoimia ja tarkastamia tehtäviä, animaatioita ja grafiikkaa.

Matriisilaskentaa käytetään tieteessä ja tekniikassa lähes kaikilla aloilla. Se tarjoaa matemaattisen koneiston monesta muuttujasta riippuvan ilmiön käsittelyyn, etenkin jos riippuvuudet ovat suoraviivaisia, eli lineaarisia. Pääsovellusalueista mainittakoon vain seuraavat.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisu.Osittaisdifferentaaliyhtälöillä kuvataan paikallisesti jakautuneita prosesseja, joita ovat esimerkiksi lämmönjohtuminen, yleisemmin diffuusio, ja paikan suhteen tapahtuvat värähtelyilmiöt. Niiden numeeriset ratkaisumenetelmät (differenssimenetelmä, elementtimenetelmä (FEM), reunaelementtimenetelmä (BEM)) perustuvat lähes täysin matriisilaskentaan.

Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu(säätötekniikka, lineaariset järjestelmät, lineaariset virtapiirit, dynamiikka jne.). Lineaaristen vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu voidaan etsiä kirjoittamalla ne normaaliryhmäksi. Normaaliryhmän tarkka ratkaisu voidaan antaa matriisifunktioiden avulla ja ratkaisun stabiilisuus selviää ominaisarvotarkastelujen kautta.

Optimointi Usean muuttujan funktioiden optimointi suoritetaan etsimällä  funktion kriittisistä pisteistä ne, joita vastaavat Hessen matriisit ovat positiivisesti tai negatiivisesti definiittejä. Vastaavat pisteet ovat lokaalisia minimeitä ja maksimeita.

Tilastomatematiikkaa. Useilla ilmiöillä on monta vaikuttavaa tekijää ja niiden käyttäytymistä voidaan selittää ja ennustaa tilastollisella mallilla, Tällainen on mm. regressiomalli, joka asiallisesti on vain matriisiyhtälön Ax=b pienimmän neliösumman mukainen ratkaisu, kun yhtälöitä (mittauksia) on enemmän kuin tuntemattomia. Faktorianalyysi puolestaan yrittää selvittää mittauksiin perustuen, mitkä tekijät selittävät ilmiötä parhaiten. Ilmiön matemaatttinen malli on mittausten perusteella muodostettu kovarianssimatriisi ja sitä selittävien tekijöiden etsiminen on yksinkertaisimmillaan (pääkomponenttianalyysi) monisteessa esitettävä singulaariarvohajotelma.

Tietokonegrafiikka ja erityisesti kolmiulotteisten kuvien (3D-grafiikka) piirtäminen 2-ulotteisille tasoille, kuten tietokoneen kuvaruudulle on matriisilaskennassa yksinkertainen projisiointitehtävä, jonka ratkaisu esitetään tässä monisteessa.

1.1. Matriiseista ja vektoreista F ja F avaruuksissa

Vektori x on n:n luvun järjestetty joukko

Jos x   R, niin merkitään x  R, jos x   C , niin vastaavasti x  C . Merkintä F tarkoittaa johdonmukaisesti joko R :ää tai C :ää, ts. jos se on R , niin näin on kaikissa kaavoissa ja jos se on C , niin sitten se on sitä kaikissa kaavoissa.

Esimerkki 1.1.1 Vektorit

ovat F :n luonnollisen kannan kantavektoreita, kuten jäljempänä todistamme.

Matriisi  R on mxn luvun muodostama taulukko, missä

ja a   R . Jos a   C , niin A  C . Merkintä F tarkoittaa joko R :ää tai C :ää. Lukuja n ja m sanotaan matriisin A sarakedimensioksi ja vaakarividimensioksi.Edellisen kaavan kaikki merkintätavat viittaavat samaan matriisiin. Jos m ja n ovat asiayhteyden perusteella selviä, niin ne voidaan jättää merkitsemättä.

Jos m=n, on A neliömatriisi

jos m>n, on A korkea matriisi

ja jos m<n, on A leveä matriisi

Matriisi A voidaan kirjoittaa sarakevektorien (pystyvektorien) avulla

missä a :t, i = 1,...,n, ovat A:n sarakevektoreita, ts.

Vastaavasti A voidaan esittää vaaka(rivi)vektorienavulla

missä

Huomaa, että tämän ja edellisen kaavan a -sarakevektorit ovat yleensä eri vektoreita, vaikka niitä merkitään samalla kirjaimella. Tällaisia sopimuksia, joudutaan tekemään silloin tällöin formalismin pitämiseksi riittävän yksinkertaisena. Sopimus [2]puolestaan on osapuolten välisen erimielisyyden täydellinen puute.

Esimerkki 1.1 .2 Matriiseista

A on kompleksinen ja B on reaalinen matriisi.

Kirjainta i käytetään paitsi alaindeksinä myös imaginaariosan merkkinä. Tästä ei pitäisi syntyä ongelmia. Sen sijaan lausekkeissa, kuten

sekaantumisen vaara on ilmeinen (ellei i tarkoita summausindeksiä) ja niitä yritetään välttää.

Esimerkki 1.1.3. Identiteettimatriisi (yksikkömatriisi)

Esimerkki 1.1.4 Tarkastellaan keittokirjaan sisältyvää taulukkoa

joka kertoo eri ruoka-aineisiin sisältyviä ravintoainemääriä. Tässä katsannossa ahven on pystyvektori

ja taulukko (matriisi) voidaan esittää sarakevektoreiden avulla

A=[ahven, hauki, makkara, tomaatti, leipä].

Vaikkakaan keittokirjat eivät yleensä sisällä matriisilaskentaa tullaan tätä esimerkkiä käyttämään joissakin yhteyksissä laskutoimitusten ja teorian selventämiseksi.

Trace (jälki). Neliömatriisin A jälki

on sen diagonaalialkioiden summa.

Matriisin ositus. Matriisi A voidaan esittää osamatriisien avulla:

missä A :t ovat matriiseja s.e. kussakin sarakkeessa niillä on sama määrä sarakkeita ja kussakin rivissä yhtä monta riviä. Tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että ositetun matriisin vaakarivin

A ,A ,...,A

matriisien A , j=1,...,q korkeus on sama ja että pystyrivin muodostavien osamatriisien A , i=1,...,p leveys on sama.

Harjoitus 1.1.1 Osita laillisin tavoin matriisi