1.15 Matriisinormeista

Teoreettisesti kätevä matriisinormi on

missä A F .

Harjoitus 1.15.1 Osoita, että eo. matriisinormin kolme määrittelylauseketta ovat samat. Huomaa että kahden viimeisen lausekkeen maksimiarvo on olemassa, sillä yksikköympyrän kehä on suljettu ja rajoitettu joukko ja ||Ax|| on x:n jatkuva funktio.

Matriisinormilla on mm. seuraavat ominaisuudet:

Esimerkki 1.15.1 Matriisin

matriisinormi ||A||=4. Laske matriisien

matriisinormit.

Edellinen matriisi osoittaa, että matriisinormin suora laskeminen ei aina ole helppoa. Sille johdetaan myöhemmin helpommin laskettavia menetelmiä (singulaariarvohajotelman avulla). Teoreettisesti matriisinormi on sitävastoin mukava, mm. seuraavasta syystä.

Harjoitus 1.15.2 Osoita, että kuvavektorin = Ax normi on siten rajoitettu, että

ja todista tämän tuloksen avulla matriisinormin ominaisuus (3).

Harjoitus 1.15.3 Osoita, että matriisinormi toteuttaa ehdot 1, 2, 4.

Matriisikuvauksessa vektorin pituus yleensä muuttuu. Seuraava lause osoittaa, että unitaarisella matriisilla kerrottaessa vektorin pituus ei muutu, vaan ainoastaan vektorin suunta.

Lause 1.15.1 Olkoon U unitaarinen matriisi. Tällöin jokaisella vektorilla x pätee

joten

Todistus.

Matriisinormin määritelmän perusteella

Harjoitus. 1.15.4 Osoita, että vektorien x ja y sisätulo ei muutu jos ne kerrotaan unitaarisella matriisilla ja kääntäen, jos

niin A on unitaarinen matriisi.

Matriisinormin geometrinen tulkinta:

Jos  F , niin matriisia A voi pitää kuvauksena A : F  -> F . Normi ||A|| on suurin pituus, minkä kuvavektori ||Ax|| saa, kun vektori x kiertää yksikköympyrän kehää.

Huomautus 1.15.1 Samaa ||.|| normi-merkintää käytetään sekä Euklidisesta vektori-, että sen indusoimasta matriisinormista. Lukijan on syytä ymmärtää mistä milloinkin on kysymys. Helpoimmin se tapahtuu katsomalla mikä lauseke normi-merkinnän sisällä on. Jos sieltä löytyy vektori, kyse on vektorinormista, jos matriisi, kyse on matriisinormista.

Animaatio 1.15.1. Matriisinormi.