Vektorinormeja ja niiden ominaisuuksia

F -avaruuksissa vektorin pituutta voidaan mitata Euklidisella normilla:

Tällä normilla on erityisesti seuraavat ominaisuudet:

Viimeistä epäyhtälöä sanotaan kolmioepäyhtälöksi.

Muitakin normeja,ts. pituusmittoja, jotka toteuttavat eo. ehdot 1-3, voidaan määritellä, kuten esimerkiksi 1-normi

tai -normi.

Oikean normin valinta riippuu ratkaistavasta tehtävästä. Euklidisella normilla saadaan kauneimmat ja täydellisimmät teoreettiset tulokset, mutta se ei välttämättä aina mittaa etäisyyttä järkevästi. Esimerkiksi, jos x kuvaa mimimoitavaa virhettä, niin Euklidinen normi mittaa vain virheen neliösumman neliöjuurta, mutta -normi antaa suoraan luvun (toleranssin) jonka suuruisia tai pienempiä virhevektorin kaikki komponentit ovat. Euklidisen normin teoreettiset ominaisuudet ovat niin hyvät, että tässä kurssissa tyydytään siihen. Tähän normiin perustuvat tulokset eivät kaikki yleisty muille normeille, mm. siitä syystä että Euklidinen normi on sisätulon indusoima

mitä ei kaikista muista voi sanoa.

Harjoitus 1.14.1 Osoita, että kaikilla vektorinormeilla pätee kolmioepäyhtälö alaspäin:

Harjoitus 1.14.2 Osoita, että 1-normi ja -normi ovat todella normeja. Piirrä R :ssa yksikköpallot

Euklidisilla normeilla pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö:

jonka todistus suoritetaan harjoitustehtävänä.

Interaktiivinen harjoitus 1.14.1. Vektorinormi.