1.12 Determinanteista

Tässä tyydytään esittämään determinanttien laskusäännöt ilman todistuksia, jotka ovatkin usein pitkiä ja ikäviä tai ikävän pitkiä. Tarvittavat tulokset sen sijaan ovat yksinkertaisia ja helposti muistettavissa. Pianisti Arthur Rubinstein on käyttänyt samaa menetelmää. Muistelmissaan hän kysyy: miksi minun oli todisteltava Pythagoraksen ja Euklideksen suuria teoreemoja. Uskoinhan minä niihin muutenkin![1]

Determinantilla sinänsä ei ole paljon käytännöllistä merkitystä numeerisessa laskennassa. Sen sijaan sen avulla voidaan teoreettisesti tutkia matriisin ominaisuuksia ja käytännössäkin kunhan laskenta suoritetaan symbolisesti.

Neliömatriisin A determinantti on luku. Tarkastellaan lyhyesti sen laskemista. Determinanttia merkitään seuraavilla tavoilla

Määritelmä. Alimatriisi saadaan nxn matriisista jättämällä pois n-m riviä ja saraketta. Saatu alimatriisi on mxm matriisi. Jos pois jätetään n-m alinta vaakariviä ja viimeistä saraketta, saadaan mxm pääalimatriisi. Vastaavia determinantteja sanotaan alideterminantiksi ja pääalideterminantiksi.

Esimerkki 1.12.1 Matriisin

alimatriiseja ovat mm.

ensimmäinen on pääalimatriisi. Etsi muut pääalimatriisit ja laske pääalideterminantit ja alideterminantit.

Määritelmä. Olkoon  F . Determinantti on luku, joka voidaan laskea matriista seuraavasti: 1x1 matriisin determinantti on sen ainoa alkio a . Olkoon A   (n-1x (n-1) A:n alimatriisi, joka saadaan poistamalla A:sta i:s rivi jaj:s sarake. A:n determinantti on

missä  {1 ,..., n}. Tätä kutsutaan determinantin kehittämiseksi i:nnen vaakarivin suhteen.

Voidaan osoittaa, että sama tulos saadaan kehittämällä determinantti j:nnen pystyrivin suhteen.

missä  {1 ,..., n}.

Kolmas määritelmä lähtee permutaatioiden summalausekkeesta

missä summaus tapahtuu lukujen {1,2,..,n} kaikkien mahdollisten permutaatioiden p = ((1),(2),..,(n)) ylitse. Luku S(p) on parillinen, jos permutaatio p on parillinen ja pariton jos permutaatio p on pariton. Permutaatio on parillinen, jos se saavutetaan parillisella transpositioiden määrällä. Transpositio tarkoittaa kahden luvun vaihtamista keskenään. Huomaa että summan jokaisessa termissä esiintyy täsmälleen yksi matriisin alkio kustakin sarakkeesta ja rivistä.

Esimerkki 1.12.2 Lasketaan matriisin

determinantti kullakin tavalla. Ensinnä kehitys 1. vaakarivin suhteen

sitten toisen sarakkeen suhteen

tai permutaatioiden summalausekkeen avulla

det(A) = (1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8)-(3)(5)(7)-(1)(6)()-(2)(4)(9)=0

Determinanttien laskusäännöt. Seuraavat determinanttien laskusäännöt voidaan todistaa oikeiksi yo. määritelmien avulla.

1)  Jos A:lla on kaksi samanlaista riviä (saraketta), niin det(A) = 0.

2)  Jos A:n kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan keskenään, determinantin merkki muuttuu vastakkaiseksi.

3)  Jos A:n rivi (sarake) kerrotaan skalaarilla , determinantin arvo tulee kerrotuksi :lla.

4)  det A  = det A,

5) Jos A:n jokin rivi (sarake) kerrotaan skalaarilla ja lisätään johonkin toiseen riviin (sarakkeeseen), ei determinantin arvo muutu.

6) Kolmiomatriisin (ylä- tai alakolmio) determinantti on diagonaalialkioiden tulo:

det(A) = a a ... a .

7) Jos A,  F , niin det(AB) = det(Adet(B)

Harjoitus 1.12.1 Olkoon

Laske det(A) ja det(A*)

Interaktiivinen harjoitus 1.12.1. Determinantti.

Laskenta-aikoja. Determinantin laskeminen määritelmän perusteella on aikaa vievää puuhaa. Permutaatioiden summaan sisältyy n! termiä, jotka lasketaan yhteen. Kussakin yhteenlaskettavassa termissä on n-1 kertolaskua. Yhteensä n! yhteenlaskua ja (n-1)n! kertolaskua. 100x100 matriisin determinantin laskeminen tietokoneella, joka laskee operaation 10 :ssa sekunnissa kestää historiallisen kauan. Numeerisesti determinantti voidaan laskea esim LU-hajotelmaa (seuraava luku) käyttäen huomattavasti nopeammin.

Cramerin sääntö. Tärkeimpiä determinantin sovellutuksia on Cramerin sääntö.

Olkoon

missä |A |:t ovat matriisin A alkioon a liittyvät alideterminatit, jotka saadaan poistamalla A:sta i:s vaakarivi ja j:s sarake. A:n adjungoitu matriisi määritellään se.

Jos det(A 0, niin matriisin A käänteismatriisi on

ja A on ei-singulaarinen.

Lineaarisen yhtälöryhmän Ax= bratkaisuvektorin = [x ,x ,....,x ] alkiot ovat

missä

,

kun A on ei-singulaarinen.

Interaktiivinen harjoitus 1.12.2. Matriisien inverssi.

Harjoitus 1.12.2 Cramerin säännöllä voidaan joskus helposti arvioida matriisin inverssin ominaisuuksia. Todista väite: Kokonaislukumatriisin inverssi on kokonaislukumatriisi jos ja vain jos det(A) = +  1.

Harjoitus 1.12.3 Positiivisesti definiitin Hermiten matriisin jokainen pääalimatriisi on Hermiten matriisi ja positiivisesti definiitti.

Harjoitus 1.12.4. Laske unitaarisen matriisin determinantin arvo.

Harjoitus 1.12.5 Van der Monden determinantti syntyy helposti mm. sovitettaessa polynomeja annettuun dataan. Todista

Vihje: Induktio on henkilöä (ent. poikaa), tai sitten voi vähennellä sarakkeita sopivasti determinantista.