Osamurtohajotelma

Esitiedot:rationaalilausekkeet, polynomin jakaminen tekijöihin

Jonkin rationaalilausekkeen osamurtohajotelmalla tarkoitetaan sellaista lauseketta, joka on identtisesti sama alkuperäisen lausekkeen kanssa ja lauseke esitetään rationaalilausekkeiden summana, joissa

1. nimittäjä on ensimmäisen asteinen termi tai tämän jokin potenssi ja osoittaja on vakio

2. nimittäjä on jaoton toisen asteinen termi tai tämän jokin potenssi ja osoittaja on enintään ensimmäisen asteinen termi.

Polynomien jakolaskussa jäljelle jäävän jakojäännöksen osoittaja on välttämättä alempiasteinen polynomi, kuin kyseisen jakojäännöksen nimittäjä. Tästä nimittäjästä riippuen voidaan jakojäännöksestä muodostaa osamurtohajotelma neljällä eri tavalla.

Määritelmä 14. Nimittäjä voidaan jakaa erillisiin lineaarisiin tekijöihin. Tässä tapauksessa jokaista nimittäjässä esiintyvää lineaarista tekijää (x - c) kohti osamurtohajotelmassa esiintyy termi

( 24 )

Esimerkki 22. Tarkastellaan rationaalifunktiota . Tämän funktion määräävää rationaalilauseketta ei voi jakaa, koska osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste. Tähän muotoon kirjoitetun rationaalifunktion nimittäjässä esiintyy kaksi erillistä lineaarista tekijää, joten tämän funktion osamurtohajotelma on muotoa

,

joten

 A(x + 2) + B(x - 2) = 1, x  -2  x  2
 (A + B)x + (2A - 2B) = 1, x  -2  x  2.

Määrittelyjoukkona on siis R - {-2, 2}. Jotta yhtälö toteutuisi, on x:n kertoimen ja vakiotermin oltava yhtälön molemmilla puolin sama, joten

Joten

.

Esimerkki 23. Määritetään luvut A ja B siten, että osamurtohajotelma on voimassa kaikilla x:n arvoilla, kun x  -1, 1

Saadussa yhtälössä nimittäjät ovat samat. Jotta yhtälö olisi identtisesti voimassa, on myös osoittajien oltava samat:

josta voidaan ratkaista yhteenlaskukeinolla

ja saadaan

Tehtävä 13. Tee osamurtohajotelma:

a)

b)

Määritelmä 15. Nimittäjä voidaan jakaa lineaaristen tekijöiden potensseihin. Tässä tapauksessa jokaista nimittäjässä esiintyvää tekijää (x - c)^k kohti osamurtohajotelmassa esiintyy lauseke

( 25 )

Esimerkki 24. Funktion osamurtohajotelma on muotoa

Oikeat kertoimet ovat: A = -3, B = 3, C = -1 ja D = 5.

Määritelmä 16. Nimittäjä voidaan jakaa erillisiin toista astetta. oleviin jaottomiin tekijöihin. Jokaista nimittäjässä esiintyvää tekijää (x² + x + ) kohti osamurtohajotelmassa esiintyy termi

( 26 ) ,

joissa kertoimista A ja B ainakin toinen on nollasta eroava luku.

Esimerkki 25. Funktion osamurtohajotelma on muotoa

Oikeat kertoimet ovat: A = 1, B = -1 ja C = -1.

Animaatio 1.Osamurtohajotelman suorittaminen

Määritelmä 17. Nimittäjä voidaan jakaa toista astetta olevien. jaottomien tekijöiden potensseihin. Jokaista nimittäjässä esiintyvää tekijää (x² + x + )^k kohti osamurtohajotelmassa esiintyy lauseke

( 27 )

Esimerkki 26. Funktion osamurtohajotelma on muotoa

Oikeat kertoimet ovat: A = 2, B = 1, C = 0, D = 0 ja E = -1.

Edellisissä tarkasteluissa on perehdytty vain osamurtohajotelman muotoon eri tapauksissa. Sen jälkeen kun hajotelman muoto on määritetty, täytyy laskea sen vakioiden A, B, ... arvot. Tämä onnistuu melko helposti muodostamalla yhtälö, jossa on vasemmalla puolella alkuperäinen funktio ja oikealla tämän osamurtohajotelma. Kerrotaan nimittäjät pois ja sievennetään siten, että päästään vertailemaan samanmuotoisten termien eli saman eksponenttisten muuttujien kertoimia. Näiden kertoimien tulee olla samat, koska osamurtohajotelma on identtisesti sama alkuperäisen funktion kanssa.