<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Murtoyhtälöt ja epäyhtälöt

Esitiedot:rationaalilausekkeet, lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen

Murtoyhtälöiden ratkaisemisessa pyritään yleensä yhtälöä puolittain sopivasti kertomalla pääsemään eroon nimittäjistä, jonka jälkeen tehtävänä on ratkaista polynomiyhtälö. On kuitenkin tärkeä huomata, että alkuperäisen yhtälön nimittäjien nollakohdat eivät ole sallittuja ratkaisuja.

Esimerkki 20. Ratkaistaan yhtälö

.

Tämän yhtälön määrittelyjoukko Mj = R - {-1, 1}. Poistetaan nimittäjät kertomalla yhtälö molemmin puolin lausekkeella x2 - 1 eli tulolla (x - 1)(x + 1). Näin voidaan tehdä, koska tämän lausekkeen nollakohdat eivät kuulu yhtälön määrittelyjoukkoon. Näin menetellen ja muuten normaalisti sieventäen saadaan yhtäpitävät yhtälöt



 (x + 1) + (x - 1) = 4
 2x = 4
 x = 2

Koska luku 2 kuuluu määrittelyjoukkoon, on se käypä ratkaisu yhtälölle.

Määritelmä 13. Murtoepäyhtälöiden ratkaisuun on neljä vaihetta:

1. Siirrellään termejä niin, että oikealle puolelle tulee 0.

2. Muokataan vasen puoli yhdeksi murtolausekkeeksi.

3. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin.

4. Päätellään (useimmiten) merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu.

Näitä ohjeita sovellettaessa kannattaa muistaa, että nimittäjällä ei saa kertoa, ellei ole varma sen merkistä.

Esimerkki 21. Ratkaise murtoepäyhtälö:

Tämän yhtälön määrittelyjoukko Mj = R - {-1, 1}. Yhtälöä ei kannata muokata eteenpäin kertomalla nimittäjillä, sillä nimittäjien termien riippuu x:n arvosta. Sensijaan siirretään termit samalle puolelle ja lavennetaan.



Osamäärän etumerkki riippuu nimittäjän termien etumerkeistä:

Merkkikaavion mukaan x  -1 x  1, mutta kun huomioidaan määrittelyjoukko, saadaan:

x < -1  x > 1.

Animaatio 1.Murtoepäyhtälön ratkaiseminen

Tehtävä 11. Ratkaise yhtälöt:

a) .

b)

Tehtävä 12. Ratkaise murtoepäyhtälöt:

a)

b)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio