<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Juuriyhtälöt ja epäyhtälöt

Esitiedot:logiikan määritelmiä, juuret, korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen

Juuriyhtälöiden ratkaisemisessa määrittelyjoukkojen huomioiminen on hyvin tärkeää, esimerkiksi neliöjuurella on juurrettavan oltava positiivinen, samoin kuin sen juuren tulos. Juurilauseke yritetään jotenkin saada pois yhtälöstä, esimerkiksi korottamalla yhtälöä puolittain toiseen potenssiin. Tämän jälkeen ratkaisu etenee samaan tapaan, kuin korkeamman asteen yhtälöiden ratkaiseminen.

Esimerkki 13. Ratkaistaan yhtälö:

Koska juurrettava x2 + 1 on positiivinen kaikilla x:n arvoilla, niin juurrettavaan kelpaavat mitkä tahansa x:n arvot. Mutta koska neliöjuuri eli yhtälön vasen puoli on aina ei-negatiivinen, on myös oikean puolen oltava ei-negatiivinen, joten 2x  0  x  0 ja . Näillä ehdoilla voidaan juuriyhtälö korottaa molemmin puolin toiseen potenssiin:


 x2 + 1 = 4x2
 3x2 = 1

Yhtälö siis toteutuu vain positiivisella juuren arvolla ja yhtälölle on siten vain yksi ratkaisu.

Esimerkki 14. Ratkaistaan yhtälö:

Etsitään ensin määrittelyjoukko:

3x + 6  0  8 - 2x  0
 x  -2  x  4
 -2  x  4

Kun määrittelyjoukko Mj = [-2, 4], voidaan yhtälön molemmat puolet neliöidä, ja saadaan

3x + 6 = 64 - 32x + 4x2
 4x2 - 35x + 58 = 0

 x  2,22  Mj x  6,53  Mj

Esimerkki 15. Ratkaistaan yhtälö:

Kuutiojuurella saa sekä juurrettava että yhtälö vasemman puolen vastaus olla negatiivinen, joten yhtälön molemmat puolet voidaan korottaa kolmanteen potenssiin ja saadaan

x2 - x + 1 = x3
 x3 - x2 + x - 1 = 0
 x2(x - 1) + (x - 1) = 0
 (x2 + 1)(x - 1) = 0
 x = 1

Saadaan siis yksi ratkaisu ja Rj = {1}.

Määritelmä 12. Juuriepäyhtälöiden ratkaisuun on viisi vaihetta:

1. Etsitään määrittelyjoukko ja huomioidaan sen vaikutus mahdollisiin ratkaisuihin.

2. Siirretään termejä siten, että potenssiin korotuksella saadaan juurilausekkeet poistettua.

3. Siirrellään termejä niin, että oikealle puolelle tulee 0.

4. Pyritään jakamaan vasen puoli tekijöihin.

5. Päätellään merkkikaavion avulla tai muuten tekijöiden merkkien nojalla epäyhtälön ratkaisu.

Esimerkki 16. Ratkaistaan epäyhtälö:

Koska juurilausekkeen arvon on aina positiivinen, niin yhtälön vasen puoli ei voi olla koskaan miinus viittä pienempi, joten Rj = Ø.

Esimerkki 17. Ratkaistaan epäyhtälö:

Koska juurilausekkeen arvon on aina positiivinen, niin yhtälön vasen puoli on aina miinus viittä suurempi, joten

Esimerkki 18. Muutetaan edellä läpikäyty juuriyhtälö epäyhtälöksi:

Määrittelyjoukko Mj = [-2, 4], sillä tällöin sekä juurrettava että yhtälön oikea puoli ovat posiivisia. Koska tässä joukossa molemmat puolet ovat positiiviset, voidaan epäyhtälö korottaa molemmin puolin toiseen potenssiin ja saadaan

3x + 6  64 - 32x + 4x2
 4x2 - 35x + 58  0

Vastaavasta toisen asteen yhtälöstä saatiin juuret x  2,22  Mj x  6,53  Mj. Koska yhtälön kuvaaja on ylöspäinaukeava paraabelin on epäyhtälön ratkaisu ennen määrittelyjoukon huomioimista

Määrittelyjoukko kuitenkin rajoittaa kokonaan oikean puoleisen haaran sekä osan vasemmanpuoleisesta haarasta, joten epäyhtälön ratkaisu on

Esimerkki 19. Ratkaistaan epäyhtälö:

Määrittelyjoukko saadaan juurrettavasta, jonka on oltava positiivinen: .

Mikäli oikea puoli on negatiivinen eli x < -2, kuuluvat ratkaisujoukko ne määrittelyjoukon alkiot, jotka ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin miinus kaksi eli . Kun oikea puoli on nolla tai positiivinen (x  -2), voidaan yhtälö korottaa puolittain toiseen potenssiin, ja saadaan

1 - x  (2x + 4)2
1 - x  4x2 + 16x + 16
-4x2 - 17x - 15  0
4x2 + 17x + 15  0

Tämä epäyhtälön oikean puolen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat ovat x = -3 tai x = -1, joista vain jälkimmäinen kuuluu tarkastelualueeseen, joten tämän epäyhtälön ratkaisujoukko on

Juuriepäyhtälön ratkaisujoukko on osaratkaisujen unioni Rj = Rj1  Rj2 eli

.

Tehtävä 9. Ratkaise yhtälöt:

a)

b)

c)

Tehtävä 10. Ratkaise epäyhtälöt:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio