<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen

Esitiedot:toisen asteen yhtälön ratkaiseminen, polynomin jakaminen tekijöihin

Korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen ei läheskään aina ole symbolisesti mahdollista. Esimerkiksi vähintään viidettä astetta olevien yleisten yhtälöiden ratkaisemiseen ei ole ratkaisukaavaa ollenkaan. Myös kolmatta ja neljättä astetta olevien yhtälöiden ratkaisukaavat ovat epäkäytännöllisen mutkikkaita. Kuitenkin joissain erikoistapauksissa korkeamman asteen yhtälön ratkaisu on vaivatonta ja ratkaistavissa jopa kynällä ja paperilla. Seuraavassa esitetään ohjeet näihin tapauksiin:

Tarkastellaan yhtälöä

( 15 ) anxn + an-1xn-1 + ... a1x + a0 = 0,

missä an  0.

Määritelmä 8. Jos x0 on yhtälön ( 15 ) ratkaisu, niin yhtälön vasemman puolen polynomi on jaollinen binomilla (x - x0). Siis jakamalla vasemman puolen polynomi tekijöihinsä ja sen jälkeen soveltamalla tulon nollasääntöä voidaan tietyt yhtälöt ratkaista.

Määritelmä 9. Jos kaikki yhtälön ( 15 ) kertoimet ovat kokonaislukuja, niin supistettu rationaaliluku voi olla polynomin juuri vain, jos p on a0:n tekijä ja q on an:n tekijä.

Näiden kahden ohjeen avulla ainakin kokonaislukukertoimisten korkeamman asteen yhtälöiden ratkaiseminen onnistuu ainakin joissain tapauksissa.

Esimerkki 9. Ratkaistaan yhtälö 2x4 - 5x3 - x2 - 5x - 3 = 0.

Mahdollisen rationaalijuuren nimittäjänä on jokin 2:n tekijöistä 1, 2 ja osoittajana jokin 3:n tekijöistä 1, 3. Siis yhtälön mahdolliset rationaalijuuret ovat 1, 3, ja 1,5. Kokeilemalla todetaan, että 3 ja - toteuttavat yhtälön, joten kaksi polynomin tekijää ovat (x - 3) ja (x + ), samoin näiden tulo on polynomin tekijä. Polynomi voidaan jakaa tällä tulolla jakokulmassa:

Jako meni asianmukaisesti tasan ja lopputulos on 2x2 + 2. Tämä on jaoton termi, sillä sen juuert i ovat kompleksiset. Yhtälö saadaan muotoon:

(x + )(x - 3)(2x2 + 2) = 0

Tästä tulon nollasäännöllä päätellään, että ratkaisujoukko on {-, 3}.

Määritelmä 10. Erikoistapauksena korkeamman asteen yhtälöistä käsitellään bikvadraattista yhtälöä ax4 + bx2 + c = 0. Tällainen yhtälö voidaan ratkaista sijoittamalla yhtälöön u = x2. Silloin saadaan u:n suhteen toisen asteen yhtälö au2 + bu + c = 0. Ratkaistaan tämä tavanomaiseen tapaan ja sitten ratkaistaan muuttujan x arvot yhtälöistä u1 = x2 ja u2 = x2, missä u1 ja u2 ovat u:n toisen asteen yhtälön ratkaisut.

Tehtävä 5. Etsi kokeilemalla yhtälön juuret:

a) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0

b) x4 - 15x2 + 10x + 24 = 0

Tehtävä 6. Esitä yhtälöt tulomuodossa:

a) x4 - 10x2 + 9 = 0

b) x3 + x2 -5x + 3 = 0


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio