<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Polynomin jakaminen tekijöihin

Esitiedot:polynomi

Määritelmä 6. Jos tarkasteltava yhtälö voidaan hajoittaa kahden (tai useamman) yhtälön disjunktioksi, voidaan soveltaa tulon nollasäännöä

( 11 ) ab = 0  (a = 0  b = 0).

Esimerkki 6.

x(x + 5)(2x - 1) = 0
 x = 0  x + 5 = 0  2x - 1 = 0
 x = 0  x = -5  x = .

Koska määrittelyjoukko on R, niin kaikki saadut muuttujan arvot kuuluvat ratkaisujoukkoon.

Määritelmä 7. Korkeamman asteen yhtälöksi sanotaan yhälöä, joka voidaan sieventää muotoon P(x) = 0 ja jossa P(x) on vähintään kolmatta astetta oleva polynomi.

Korkeamman asteen yhtälön P(x) = 0 ratkaiseminen on helppoa, jos polynomi P(x) pystytään jakamaan tekijöihinsä. Täten on syytä tarkastella hivenen polynomien jaollisuutta.

Ryhmittelykeino on osittelulakiin perustuva tekijöihinjakomenetelmä. Tällöin termit ryhmitellään sopivasti ja kunkin ryhmän termeistä otetaan yhteinen tekijä. Menetelmä onnistuu, jos näin saaduilla termeillä on yhteinen tekijä.

Esimerkki 7. Jaetaan polynomi tekijöihinsä

x3 + x2 - 4x - 4
= (x3 + x2) + (-4x - 4)
x2(x + 1) - 4(x + 1)
= (x2 - 4)(x + 1)
= (x - 2)(x + 2)(x + 1)

Polynomin jaollisuudella ja nollakohdilla on seuraava yhteys: Polynomi P(x) on jaollinen binomilla x - x1 täsmälleen silloin, kun x1 on polynomin P(x) nollakohta. Tähän perustuu polynomin jakaminen tekijöihin nollakohtien avulla. Jos x1 on reaalinen nollakohta polynomille

( 12 ) P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... a1x + a0,

jossa an  0, niin

( 13 ) P(x) = (x - x1)Q(x),

missä polynomin Q(x) asteluku on n - 1. Jos polynomilla P(x) on n reaalista nollakohtaa x1x2, ..., xn, niin

( 14 ) P(x) = an(x - x1)(x - x2 ...  (x - xn).

Esimerkki 8. Jaetaan polynomi 4x2 + 5x - 6, jonka nollakohdat ovat -2 ja 0,75, tekijöihinsä:

4x2 + 5x - 6
= 4(x - 0,75)(x + 2)
= (4x - 3)(x + 2)

Jaettaessa polynomia tekijöihinsä kannattaa muistaa, että astelukua n olevalla polynomilla on enintään n reaalista nollakohtaa.

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälöt

a) -2(x + 2) - x(x + 2) = 0.

b) 3(x - 2)(3x + 15)(4 - x) = 0

Tehtävä 3. Yhtälön kolme erisuurta nollakohdaa ovat 0, 3 ja -2. Kirjoita yhtälö.

Tehtävä 4. Neljättä astetta olevan yhtälön korkeimman asteen kerroin on 8 ja sen kaksinkertaiset nollakohdat ovat . ja -1. Kirjoita yhtälö.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio