<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Esitiedot:rationaalilausekkeet, juuret

Määritelmä 1. Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan sieventää muotoon

( 1 ) ax2 + bx + c = 0, a  0.

Tämä on toisen asteen yhtälön normaalimuoto (tai perusmuoto). Jakamalla yhtälö puolittain a:lla ja merkitsemällä ja saadaan toisen asteen yhtälön suppea normaalimuoto

( 2 ) x2 + px + q = 0.

Esimerkki 1. Ratkaistaan toisen asteen yhtälö x2 + 2x - 3 = 0 tekemällä neliöksi täydentäminen. Tällä tarkoitetaan sitä, että yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle pyritään hakemaan esitys, jossa on ensimmäisen asteiden binomin neliö, eli muotoa (x + t)2, jossa t on vakio, jonka arvo määräytyy x:n ja x2:n kertoimista.

x2 + 2x - 3 = 0
 x2 + 2x = 3
 x2 + 2 x  1 + 1 = 3 + 1
 (x + 1)2 = 4
 x + 1 = 2
 x = -1  2
 x = -3  x = 1

Soveltamalla tätä yleisesti voidaan johtaa seuraavassa esitetty toisen asteen yhtälön ratkaisukaava:

Määritelmä 2. Yhtälön ax2 + bx + c = 0 (a  0) ratkaisukaava on

( 3 )

Esimerkki 2. Ratkaistaan yhtälö 2x2 - 5x - 3 = 0.


x1 = -  x2 = 3

Määritelmä 3. Ratkaisukaavassa esiintyvä juurrettavaa b2 - 4ac sanotaan diskriminantiksi ja sitä merkitään yleensä kirjaimella D. Yhtälön ratkaisujen lukumäärä riippuu diskriminantista seuraavasti:

( 4 ) Jos D > 0, niin yhtälöllä on kaksi erisuurta ratkaisua x1 ja x2.

( 5 ) Jos D = 0, niin yhtälöllä on kaksinkertainen ratkaisu eli kaksoisjuurix1,2.

( 6 ) Jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja.

Usein toisen asteen yhtälön ratkaisuja sanotaan juuriksi. Tämä ei aiheuttane sekaannusta yleisen juurikäsitteen kanssa.

Esimerkki 3. Ratkaistaan yhtälö 16x2 + 24x + 9 = 0.


x1 = x2 = x1,2 = -0,75

Mikäli toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalisia ratkaisuja. Vaikka yleensä tarkastelussa tyydytään vain reaalisiin ratkaisuihin, niin yhtälölle voidaan kuitenkin ratkaista myös kompleksiset juuret.

Määritelmä 4. Mikäli toisen asteen yhtälön diskriminantti D < 0, on yhtälöllä kaksi erisuurta kompleksista juurta, jotka ovat toisensa liittoluvut:

( 7 ) ,

jossa i on imaginaariyksikkö. Kompleksiset juuret ovat toistensa liittolukuja.

Esimerkki 4. Ratkaistaan yhtälö x2 + 4x + 13 = 0:


x1 = -2 - 3i  x2 = -2 + 3i

Toisen asteen yhtälöiden reaalisilla ja kompleksisilla juurilla on ominaisuutena se, että niiden summa ja tulo voidaan määrittää yhtälön kertoimien avulla. Olkoot x1 ja x2 yhtälön ax2 + bx + c = 0 (a  0) juuret. Tällöin

( 8 )

( 9 ) .

Jos yhtälön kummallakin puolella on itseisarvolauseke, voidaan itseisarvomerkit poistaa korottamalla yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin. Yleisesti on nimittäin voimassa seuraava ominaisuus:

Määritelmä 5. Olkoot ab  0. Silloin

( 10 ) a = b  a2 = b2.

Esimerkki 5. Ratkaistaan . Koska nyt yhtälön molemmat puolet ovat positiivisia, saadaan

(x + 1)2 = (2x - 2)2
 x2 + 2x + 1 = 4x2 - 8x + 4
 -3x2 + 10x - 3 = 0

Tehtävä 1. Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt:

a) 3x2 - x - 10 = 0

b) 4x2 + 20x + 29 = 0

c) 3x2 + 2= 0

d) x2 - 9 = 0


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio