<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Vektorien skalaaritulo

Esitiedot:arkusfunktiot, vektorilaskutoimituksia koordinaatistossa

Määritelmä 26. Vektoreiden a  0 ja b  0 välinen kulma  = (ab) on pienempi niiden edustajien muodostamasta kahdesta kulmasta. Siis aina 0  (ab . Jos jompikumpi vektoreista on 0, ei kulmaa ole määritelty. Erikoistapauksina ovat samansuuntaiset vektorit, joiden välinen kulma on 0, ja vastakkaisuuntaiset vektorit, joiden välinen kulma on .

Määritelmä 27. Vektorien a  0 ja b  0 skalaaritulo a  b määritellään yhtälöllä

( 25 )

missä (ab) =  on vektorien a ja b välinen kulma. Jos a = 0 tai b = 0 niin a  b = 0. Skalaarituloa sanotaan myös pistetuloksi tai sisätuloksi. Kuten nimikin jo sanoo, on tulon lopputulos skalaari, ei vektori.

Mikäli kahden eri vektorin sijaan valitaankin kahdesti sama vektori, niin koska cos(aa) = cos(0) = 1, niin skalaaritulo saadaan muotoon , joten vektorin pituus saadaan yhtälöstä

( 26 )

Kahdelle toisiaan vastaan kohtisuoralle vektorille , joten skalaaritulolle ja vektorien kohtisuoruudelle saadaan seuraava yhteys: Kaksi aitoa vektoria a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa täsmälleen silloin, kun niiden skalaaritulo on 0. Toisin sanoen voimassa on ehto

( 27 ) a  b  a  b = 0.

Skalaaritulon laskulakeja

Määritelmä 28. Vaihdantalaki:

( 28 ) a  b = b  a.

Määritelmä 29. Osittelulaki:

( 29 ) a  (b + c) = a  b + a  c,

( 30 ) (a + b c = a  c + b  c.

Määritelmä 30. Reaalikertoimen siirtosääntö:

( 31 ) a  (tb) = (ta b = t(a  b) = ta  b.

Mikäli tarkastelut tapahtuvat xyz -koordinaatistossa, sovelletaan skalaaritulon algebrallista esitystä:

Esimerkki 10. Määritetään vektoreiden a = a1i + a2 j + a3k ja b = b1i + b2 j + b3k skalaaritulo:

a  b = (a1i + a2 j + a3k)(b1i + b2 j + b3k)
a1i  b1ia1i  b2 ja1i  b3k
a2 j  b1ia2 j  b2 ja2 j  b3k
a3k  b1ia3k  b2 ja3k  b3k
a1b1i  ia1b2i  ja1b3i  k
a2b1 i  ja2b2 j  ja2b3 j  k
a3b1i  ka3b2 j  ka3b3k  k

Koska i, j ja k ovat ortogonaalisen koordinaatiston vektoreita, niin i  ij  j = k  k = 1 ja i  ji  kj  k = 0, ja saadaan seuraava määritelmä:

Määritelmä 31. Vektorien a = a1i + a2 j + a3k ja b = b1i + b2 j + b3k skalaaritulolle on voimassa ehto

( 32 ) a  b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

xy -koordinaatistossa k -komponentti jää pois, joten skalaaritulo saa muodon

( 33 ) a  b = a1ba2b2.

Esimerkki 11. Määritä vektoreiden a = 5i -12 j ja b = -4i + 3 j pituudet ja niiden välinen kulma.



a  b = 5(-4) + (-12)3 = -56

Tehtävä 7. Laske , kun , ja .

Tehtävä 8. Henkilö kulkee ensin 2 km pohjoiseen, sitten 3 km etelään ja vihdoin 1 km luoteeseen. Kuinka kauaksi hän joutuu lähtöpaikasta?


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio