<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Vektorilaskutoimituksia koordinaatistossa

Esitiedot:juuret, kanta ja koordinaatisto

Koordinaatistoista puhuttaessa on tarkasteltavien ulottuvuuksien lukumäärä kiinnitetty. Yleisesti ottaen puhutaan tasosta tai xy-tasosta kun tarkastellaan kaksiulotteisia ilmiöitä. Tarkasteltaessa kolmiulotteisia ilmiöitä puhutaan kolmiulotteisesta avaruudesta tai vain avaruudesta.

Seuraavassa tarkastellaan kolmiulotteisessa avaruudessa ja xyz -koordinaatistossa määriteltyjä vektorilaskutoimituksia. Analogiset ominaisuudet ovat voimasssa myös tason tapauksessa.

Olkoon a = a1i + a2 j + a3k ja b = b1i + b2 j + b3k.

Määritelmä 23. Vektorit a ja b ovat yhtä suuria täsmälleen silloin, kun

( 21 ) a1 = b1a2 = b2a3 = b3.

Määritelmä 24. Vektoreiden a ja b yhteenlasku määritellään ehdolla

( 22 ) a + b = (a1 + b1)i + (a2 + b2j + (a3 + b3)k.

Määritelmä 25. Vektorin a pituus lasketaan yhtälöllä

( 23 )

sillä

Esimerkki 7. Jos a = a1i + a2 j + a3k on pisteen A paikkavektori ja b = b1i + b2 j + b3k on pisteen B paikkavektori, niin tällöin janan AB keskipisteenP paikkavektori r on

( 24 )

Esimerkki 8. Olkoon r ja s koordinaatiston (O, ijk) vektoreita

r = 3i + 5 j - 7k

s = -2i - 5 j + 4k

a) r + s = (3 - 2)i + (5 - 5) j + (-7 + 4)ki - 3k

b) 2r - 4s = (23 + -4-2)i + (25 + -4-5)j + (2-7 + -44)k = 14i + 30 j - 30 k

c)

d)

e) Pisteiden (3, 5, -7) ja (-2, -5, 4) välisen jana keskipisteen P paikkavektori:

Esimerkki 9. Alla olevassa kuvassa on esitetty vektorit a = i + 3 j ja b = -4i + 2 j, näiden summa a + b ja erotus a - b sekä b:n vastavektorin puolikas, - b.

Tehtävä 6. Laske pisteiden P ja Q välinen etäisyys, kun OP = i - 3 j + k ja OQ = i + j - 2k.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio