Vektorilaskutoimituksia koordinaatistossa

Esitiedot:juuret, kanta ja koordinaatisto

Koordinaatistoista puhuttaessa on tarkasteltavien ulottuvuuksien lukumäärä kiinnitetty. Yleisesti ottaen puhutaan tasosta tai xy-tasosta kun tarkastellaan kaksiulotteisia ilmiöitä. Tarkasteltaessa kolmiulotteisia ilmiöitä puhutaan kolmiulotteisesta avaruudesta tai vain avaruudesta.

Seuraavassa tarkastellaan kolmiulotteisessa avaruudessa ja xyz -koordinaatistossa määriteltyjä vektorilaskutoimituksia. Analogiset ominaisuudet ovat voimasssa myös tason tapauksessa.

Olkoon a = a₁i + a₂ j + a₃k ja b = b₁i + b₂ j + b₃k.

Määritelmä 23. Vektorit a ja b ovat yhtä suuria täsmälleen silloin, kun

( 21 ) a₁ = b₁a₂ = b₂a₃ = b₃.

Määritelmä 24. Vektoreiden a ja b yhteenlasku määritellään ehdolla

( 22 ) a + b = (a₁ + b₁)i + (a₂ + b₂) j + (a₃ + b₃)k.

Määritelmä 25. Vektorin a pituus lasketaan yhtälöllä

( 23 )

sillä

Esimerkki 7. Jos a = a₁i + a₂ j + a₃k on pisteen A paikkavektori ja b = b₁i + b₂ j + b₃k on pisteen B paikkavektori, niin tällöin janan AB keskipisteenP paikkavektori r on

( 24 )

Esimerkki 8. Olkoon r ja s koordinaatiston (O, i, j, k) vektoreita

r = 3i + 5 j - 7k

s = -2i - 5 j + 4k

a) r + s = (3 - 2)i + (5 - 5) j + (-7 + 4)k = i - 3k

b) 2r - 4s = (23 + -4-2)i + (25 + -4-5)j + (2-7 + -44)k = 14i + 30 j - 30 k

c)

d)

e) Pisteiden (3, 5, -7) ja (-2, -5, 4) välisen jana keskipisteen P paikkavektori:

Esimerkki 9. Alla olevassa kuvassa on esitetty vektorit a = i + 3 j ja b = -4i + 2 j, näiden summa a + b ja erotus a - b sekä b:n vastavektorin puolikas, - b.

Tehtävä 6. Laske pisteiden P ja Q välinen etäisyys, kun OP = i - 3 j + k ja OQ = i + j - 2k.