Esitiedot:lineaarinen riippumattomuus
Määritelmä 17. Jos vektorit u, v ja w ovat lineaarisesti riippumattomia, niin ne muodostavat kolmiulotteisen avaruuden kannan. Se ilmoitetaan järjestettynä kolmikkona (u, v, w). Tällöin avaruuden jokaista vektoria a vastaa yksikäsitteisesti järjestetty lukukolmikko (r, s, t) siten, että
( 20 ) a = ru + sv + tw.
Tällaista kantavektoreiden lineaariyhdistelyä eli lineaarikombinaatiota nimitetään a:n komponenttiesitykseksi ja sen vektorikomponentit ovat ru, sv ja tw.
Luvut r, s ja t ovat a:n koordinaatit kannan (u, v, w) suhteen ja järjestettyä lukukolmikkoa (r, s, t) nimitetään vektorin a koordinaattiesitykseksi. Lukuja r, s ja t kutsutaan myös skalaarikomponenteiksi.
Tason, joka on kaksiulotteinen avaruus, kannassa on vain kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria. Muuten tarkastelut ovat samankaltaiset.
Määritelmä 18. Olkoon O avaruuden kiinteä piste. Nimetään tämä piste origoksi.
Määritelmä 19. Olkoon P avaruuden mielivaltainen piste. Tällöin suuntajana OP ilmoittaa pisteen P paikan origon suhteen. Nimitetään suuntajanan OP määräämä vektori r pisteen P paikkavektoriksi.
Määritelmä 20. Avaruuden jokaisella pisteellä on täysin määrätty paikkavektori ja jokaista paikkavektoria vastaa yksikäsitteisesti avaruuden tietty piste.
Olkoon origon O lisäksi annettuna kanta (u, v, w). Tällöin pisteen P paikkavektori voidaan esittää komponenttiesityksenä r = xu + yv + zw, missä koordinaatit x, y ja z ovat yksikäsitteisesti määrättyjä. Pisteen P koordinaateilla tarkoitetaan sen paikkavektorin r koordinaatteja.
Määritelmä 21. Origon ja kannan muodostamaa järjestettyä nelikköä (O, u, v, w) nimitetään koordinaatistoksi.
Myös tasolle samankaltaiset tarkastelut ja määrittelyt ovat voimassa.
Määritelmä 22. Yleensä kolmiulotteisen avaruuden koordinaatistona käytetään xyz-koordinaatistoa. Sen kantavektoreita merkitään symboleilla i, j ja k. Nämä kantavektorit ovat
2. ortogonaalisia: pareittain kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Vektoreiden i, j ja k muodostamaa kantaa sanotaan ortonormeeratuksi kannaksi.
Kannan vektorit määräävät koordinaattiakselit siten, että i määrää x-akselin: sen positiivisen suunnan ja mittaluvun. Akseli on vastaavan kantavektorin suuntainen suora. Positiivinen suunta on kantavektorin suunta ja mittaluku on kantavektorin normi eli 1. Kantavektori j määrää y-akselin ja k määrää z-akselin.
Kuva 9. Ortonormeerattu xyz-kooorinaatisto.
xyz-koordinaatisto on positiivisesti suunnattu. Tämä tarkoittaa sitä, että katsottaessa kohti origoa pisteestä, jonka kaikki koordinaatit ovat positiivisia, x-, y- ja z-akselit seuraavat järjestyksessä toisiaan positiivisessa kiertosuunnassa eli vastapäivään. Tätä sanotaan myös oikeakätiseksi systeemiksi.
Kaksiulotteisessa tapauksessa eli tasossa, kannassa on vain kaksi vektoria ja vastaavaa koordinaatistoa sanotaan xy-koordinaatistoksi tai xy -tasoksi.
Kuva 10. Ortonormeerattu xy-kooorinaatisto.
Esimerkki 6. Tason vektorit alla olevassa kuvassa ovat
a) a = 3i + 2 j
b) b = -4i + 3 j
c) c = -3i - j
d) d = -2 j
e) e = 3i
Tehtävä 4. Määritä sellaiset reaaliluvut s ja t, että vektorit (1, 10) ja (3s - 2t, 2s + t) ovat samat.
Tehtävä 5. Esitä vektori (4, -1) vektoreiden (2, 2) ja (1, -1) lineaarikombinaationa.
