<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Kanta ja koordinaatisto

Esitiedot:lineaarinen riippumattomuus

Määritelmä 17. Jos vektorit u, v ja w ovat lineaarisesti riippumattomia, niin ne muodostavat kolmiulotteisen avaruuden kannan. Se ilmoitetaan järjestettynä kolmikkona (uvw). Tällöin avaruuden jokaista vektoria a vastaa yksikäsitteisesti järjestetty lukukolmikko (rst) siten, että

( 20 ) a = ru + sv + tw.

Tällaista kantavektoreiden lineaariyhdistelyä eli lineaarikombinaatiota nimitetään a:n komponenttiesitykseksi ja sen vektorikomponentit ovat ru, sv ja tw.

Luvut r, s ja t ovat a:n koordinaatit kannan (uvw) suhteen ja järjestettyä lukukolmikkoa (rst) nimitetään vektorin a koordinaattiesitykseksi. Lukuja r, s ja t kutsutaan myös skalaarikomponenteiksi.

Tason, joka on kaksiulotteinen avaruus, kannassa on vain kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria. Muuten tarkastelut ovat samankaltaiset.

Määritelmä 18. Olkoon O avaruuden kiinteä piste. Nimetään tämä piste origoksi.

Määritelmä 19. Olkoon P avaruuden mielivaltainen piste. Tällöin suuntajana OP ilmoittaa pisteen P paikan origon suhteen. Nimitetään suuntajanan OP määräämä vektori r pisteen P paikkavektoriksi.

Määritelmä 20. Avaruuden jokaisella pisteellä on täysin määrätty paikkavektori ja jokaista paikkavektoria vastaa yksikäsitteisesti avaruuden tietty piste.

Olkoon origon O lisäksi annettuna kanta (uvw). Tällöin pisteen P paikkavektori voidaan esittää komponenttiesityksenä r = xu + yv + zw, missä koordinaatit x, y ja z ovat yksikäsitteisesti määrättyjä. Pisteen P koordinaateilla tarkoitetaan sen paikkavektorin r koordinaatteja.

Määritelmä 21. Origon ja kannan muodostamaa järjestettyä nelikköä (Ouvw) nimitetään koordinaatistoksi.

Myös tasolle samankaltaiset tarkastelut ja määrittelyt ovat voimassa.

Määritelmä 22. Yleensä kolmiulotteisen avaruuden koordinaatistona käytetään xyz-koordinaatistoa. Sen kantavektoreita merkitään symboleilla i, j ja k. Nämä kantavektorit ovat

1. normeerattuja:

2. ortogonaalisia: pareittain kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vektoreiden i, j ja k muodostamaa kantaa sanotaan ortonormeeratuksi kannaksi.

Kannan vektorit määräävät koordinaattiakselit siten, että i määrää x-akselin: sen positiivisen suunnan ja mittaluvun. Akseli on vastaavan kantavektorin suuntainen suora. Positiivinen suunta on kantavektorin suunta ja mittaluku on kantavektorin normi eli 1. Kantavektori j määrää y-akselin ja k määrää z-akselin.

Kuva 9. Ortonormeerattu xyz-kooorinaatisto.

xyz-koordinaatisto on positiivisesti suunnattu. Tämä tarkoittaa sitä, että katsottaessa kohti origoa pisteestä, jonka kaikki koordinaatit ovat positiivisia, x-, y- ja z-akselit seuraavat järjestyksessä toisiaan positiivisessa kiertosuunnassa eli vastapäivään. Tätä sanotaan myös oikeakätiseksi systeemiksi.

Kaksiulotteisessa tapauksessa eli tasossa, kannassa on vain kaksi vektoria ja vastaavaa koordinaatistoa sanotaan xy-koordinaatistoksi tai xy -tasoksi.

Kuva 10. Ortonormeerattu xy-kooorinaatisto.

Esimerkki 6. Tason vektorit alla olevassa kuvassa ovat

a) a = 3i + 2 j

b) b = -4i + 3 j

c) c = -3i - j

d) d = -2 j

e) e = 3i

Tehtävä 4. Määritä sellaiset reaaliluvut s ja t, että vektorit (1, 10) ja (3s - 2t, 2s + t) ovat samat.

Tehtävä 5. Esitä vektori (4, -1) vektoreiden (2, 2) ja (1, -1) lineaarikombinaationa.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio