<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Lineaarinen riippumattomuus

Esitiedot:vektorien laskulait

Määritelmä 16. Olkoon {v1v2, ..., vn} joukko vektoreita. Tällöin vektoriyhtälöllä

( 19 ) k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0

on ainakin yksi ratkaisu, sillä muuttujien arvot k1 = k2 = ... = kn = 0 toteuttavat joka tapauksessa yllä olevan vektoriyhtälön. Mutta jos tämä on ainoa ratkaisu, sanotaan vektoreita v1, v2, ..., vn lineaarisesti riippumattomiksi.

Jos löytyy jokin muukin ratkaisu, kuin k1 = k2 = ... = kn = 0, ovat vektorit lineaarisesti riippuvia. Niillä on siis keskinäistä riippuvuutta ja jokin vektori voidaan lausua muiden avulla.

Esimerkki 4. Seuraavan kuvan vektorit u ja v ovat keskenään lineaarisesti riippumattomat, samoin u ja w sekä v ja w. Sensijaan kaikki kolme vektoria eivät ole riippumattomat, sillä esimerkiksi u + v - 2w = 0.

Esimerkki 5. Olkoon {v1v2, ..., vn} joukko vektoreita, missä v1 = 0. Tällöin esimerkiksi

 v1+ 0  v2 + ... + 0  vn = 0.

Toisin sanoen jos vektorijoukkoon kuuluu nollavektori, niin se on aina lineaarisesti riippuva.

Tehtävä 3. Vektorit i, j ja k ovat lineaarisesti riippumattomat. Ovatko vektorit

a) i + 2 j - k, -i - j + k, i + 4 j - k

b) i + 2 j - k, -i - j + k, 2i + j - k

lineaarisesti riippumattomia?


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio