Lineaarinen riippumattomuus

Esitiedot:vektorien laskulait

Määritelmä 16. Olkoon {v₁, v₂, ..., v_n} joukko vektoreita. Tällöin vektoriyhtälöllä

( 19 ) k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_nv_n = 0

on ainakin yksi ratkaisu, sillä muuttujien arvot k₁ = k₂ = ... = k_n = 0 toteuttavat joka tapauksessa yllä olevan vektoriyhtälön. Mutta jos tämä on ainoa ratkaisu, sanotaan vektoreita v₁, v₂, ..., v_n lineaarisesti riippumattomiksi.

Jos löytyy jokin muukin ratkaisu, kuin k₁ = k₂ = ... = k_n = 0, ovat vektorit lineaarisesti riippuvia. Niillä on siis keskinäistä riippuvuutta ja jokin vektori voidaan lausua muiden avulla.

Esimerkki 4. Seuraavan kuvan vektorit u ja v ovat keskenään lineaarisesti riippumattomat, samoin u ja w sekä v ja w. Sensijaan kaikki kolme vektoria eivät ole riippumattomat, sillä esimerkiksi u + v - 2w = 0.

Esimerkki 5. Olkoon {v₁, v₂, ..., v_n} joukko vektoreita, missä v₁ = 0. Tällöin esimerkiksi

1  v₁+ 0  v₂ + ... + 0  v_n = 0.

Toisin sanoen jos vektorijoukkoon kuuluu nollavektori, niin se on aina lineaarisesti riippuva.

Tehtävä 3. Vektorit i, j ja k ovat lineaarisesti riippumattomat. Ovatko vektorit

a) i + 2 j - k, -i - j + k, i + 4 j - k

b) i + 2 j - k, -i - j + k, 2i + j - k

lineaarisesti riippumattomia?