<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Vektorien laskulait

Esitiedot:itseisarvo, vektori

Aluksi määritellään suuntajanojen yhteenlasku. Olkoot A, B ja C kolme avaruuden pistettä. Valitaan suuntavektorit AB ja BC, kuten kuvassa. Suuntajana AC voidaan ilmaista suoraan "siirtymisenä" pisteestä A pisteeseen C mutta myös pisteen B kautta eli suuntajanojen AB ja BC avulla, siis laskemalla ne yhteen. Suuntajanojen yhteenlasku määritellään yhtälöllä

( 4 ) AB + BC = AC.

Kuva 6. Suuntajanojen yhteenlasku

Määritelmä 9. Valitaan kaksi avaruuden vektoria u ja v ja laitetaan v alkamaan u:n päätepisteestä. Vektori, joka yhdistää u:n alkupisteen ja v:n loppupisteen, on vektorien u ja v summa u + v.

Animaatio 1. Tämä animaatio esittää kahden vektorin summaa. Huomaa, että summavektorilla sekä suunta että pituus muuttuvat.

Erityisesti fysiikassa summavektoria nimitetään resultantiksi ja yhteenlaskettavia komponenteiksi.

Määritelmä 10. Vektorien vähennyslaskussa käytetään hyväksi vastavektoria, eli vähennyslaskun u - v sijaan lasketaankin summa u + (-v).

Kuva 7. Vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku

Seuraavissa kaavoissa u, v ja w ovat avaruuden vektoreita ja t on skalaari.

Määritelmä 11. Skalaarin t ja vektorin u kertolasku tu on vektori, jonka pituus

( 5 )

ja suunta on vektorin

( 6 )

Tässä merkintä tarkoittaa reaaliluvun t itseisarvoa ja tarkoittaa vektorin u pituutta.

Kuva 8. Vektorin kertominen negatiivisella vakiolla s ja positiivisella vakiolla r

Esimerkki 1. Vektorin (-1)  u pituus on ja suunta on -u, joten (-1)u = -u.

Määritelmä 12. Skalaarin (t, s) ja vektorin (u) kertolaskulle ovat voimassa ehdot:

( 7 ) ut = tu,

( 8 ) s(tu) = (st)u,

( 9 ) 1u = u,

( 10 ) tu = 0  (t = 0  u = 0).

Määritelmä 13. Vektorin a  0 kanssa samansuuntaiselle yksikkövektorille käytetään merkitään a0 ja vastakkaisuuntaiselle yksikkövektorille merkintää -a0. Yksikkövektori saadaan vektorista a jakamalla se pituudellaan, eli

( 11 )

Esimerkki 2. Jos a  0, niin

( 12 )

joten yksikkövektorin pituus on yksi.

Määritelmä 14. Edellä olevien määritelmien perusteella vektoreille u, v ja w on voimassa (vakiot t ja s):

( 13 ) u + v = v + u,

( 14 ) (u + v) + w = u + (v + w),

( 15 ) u + 0 = 0 + u = u,

( 16 ) t(u + v) = tu + tv,

( 17 ) (s + t)u = su + tu.

Lisäksi vektorin ja sen vastavektorin summa on nollavektori eli

( 18 ) u + (-u) = 0.

Määritelmä 15. Aidot vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun toinen vektori saadaan toisesta nollasta poikkeavalla reaaliluvulla kertomalla. Tällöin on siis olemassa sellainen t  0, että v = tu.

Huomaa jo tässä vaiheessa, että esitykset uv ja ovat kiellettyjä, sillä esityksen mukaista kahden vektorin kerto- ja jakolaskua ei ole määritelty. Vektoreille tosin on määritelty kaksikin eri kertolaskua, mutta molemmilla on oma nimensä, laskutapansa ja merkkinsä.

Esimerkki 3. Poista esityksistä sulut:

4(u + 5v) - 5(2v - 3u) = 4u + 20v - 10v + 15u = 19u + 10v.

Tehtävä 1. Olkoon u = -2a - (3b - 4c) ja v = 2a - b - c. Esitä vektori 2u - 3v vektoreiden a, b ja c lineaarikombinaationa eli summalausekkeena.

Tehtävä 2. Ratkaise

a) vektori x yhtälöstä x - (b + 2a) = 2a + b - x.

b) vektorit x ja y yhtälöryhmästä


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio