<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Vektori

Esitiedot: ei esitietoja

Mikäli avaruuden pisteiden A ja B kautta piirretään suora ja erotetaan tästä suorasta vain pisteiden välinen osa, saadaan janaAB. Mikäli tälle janalle valitaan suunta, määrittävät pisteet A ja B suuntajananAB siten, että A on janan alkupiste ja B on janan loppupiste. Tällöin sillä on paikka, pituus, joka on pisteiden välinen etäisyys, ja suunta.

Kuva 1. Suuntajanoja

Jos P on avaruuden jokin piste, niin aina on olemassa täsmälleen yksi piste Q siten, että suuntajanat AB ja PQ ovat yhtäsuuria siinä mielessä, että ne ovat yhtä pitkiä ja niillä on sama suunta.

Määritelmä 1. Vektori on keskenään yhtäsuurien suuntajanojen joukko. Myös suuntajanoja, jotka tarkkaan ottaen ovat vektorin edustajia, nimitetään usein lyhyesti vektoreiksi.

Vektorilla on suunta ja pituus ja se on vapaasti sijoitettavissa, kunhan pituus ja suunta säilyvät.

Määritelmä 2. Jos vektoreilla a ja b on sama suunta ja pituus, niin sanotaan että a ja b ovat yhtä suuria (samat) ja merkitään a = b; muutoin a  b.

Määritelmä 3. Nollasuuntajanaa AA vastaa nollavektori0. Se on ainoa vektori jolla ei ole määrättyä suuntaa. Sanotaan, että vektori a on aito vektori, jos a  0.

Painetussa tekstissä vektorit esitetään yleensä lihavoituna, kuten edellä vektori a ja nollavektori 0. Käsinkirjoitetussa tekstissä ja myös painetussa tekstissä käytetään viivaa joko vektorin yläpuolella , tai alapuolella , . Tällä kirjoitusasulla tehdään ero esimerkiksi nollavektorin 0 ja reaaliluvun nolla 0 välille. Usein vektoreiden yhteydessä reaaliluvuista käytetään termiä skalaari.

Määritelmä 4. Vektorin pituudella tarkoitetaan sen jonkin edustajan, suuntajanan, pituutta. Jos a on jokin avaruuden vektori, niin sen pituudesta käytetään merkintää .

Vektorin pituus on ei-negatiivinen reaaliluku ja toisinaan käytetään myös merkintää a, siis ilman lihavointia. Nollavektorille on voimassa yhtälö . Vektorin pituudesta käytetään joskus nimitystä normi.

Mikäli avaruuden pisteiden A ja B määrittämän suuntajanan AB sijasta valitaankin suuntajana BA, on se muutoin täysin sama AB:n kanssa, mutta sen suunta on kääntynyt vastakkaiseksi.

Määritelmä 5. Olkoon suuntajana AB eräs vektorin a edustaja. Tällöin -a on vektorin a vastavektori ja eräs sen edustaja on BA.

Kuva 2. Vastavektorit a ja -a

Määritelmä 6. Vektorit u ja v ovat samansuuntaiset, jos ne osoittavat samaan suuntaan. Niiden pituus saa olla eri.

( 1 ) u  v.

Kuva 3. Samansuuntaiset vektorit u ja v

Koska nollavektorilla ei ole määrättyä suuntaa, sanotaan, että se on samansuuntainen kaikkien vektorien kanssa, eli

( 2 ) u  0.

Määritelmä 7. Vektorit u ja v ovat vastakkaissuuntaiset, jos ensimmäisen vektorin vastavektori on samansuuntainen toisen vektorin kanssa. Vektoreiden pituus saa olla eri.

( 3 ) u  v.

Kuva 4. Vastakkaissuuntaiset vektorit u ja v

Määritelmä 8. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos ne ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset; muuten ne ovat erisuuntaiset. Yhdensuuntaisille vektoreille käytetään merkintää || ja erisuuntaisille .

Kuva 5. Saman- ja erisuuntaisia vektoreita


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio