<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Suorakulmainen kolmio

Esitiedot:yleinen kolmio

Suorakulmainen kolmio on sellainen kolmio, jossa yksi kulmista on ja kulman kutsutaan nimella suorakulma.

Suoran kulman kylkinä olevia kolmion sivuja kutsutaan nimellä kateetti ja kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi. Seuraavassa kuvassa kateettien pituuksia on merkitty muuttujilla a ja b ja hypotenuusan pituutta muuttujalla c.

Kuva 11. Suorakulmainen kolmio

Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä kutsutaan nimellä Pythagoraan lause, joka on erikoistapaus kosinilauseesta:

( 48 ) a2 + b2 = c2.

Suorakulmaisen kolmion pinta-alan lasketaan kaavalla

( 49 ) A =  ab.

Esimerkki 8. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 3, 4, jolloin hypotenuusa on

.

Esimerkki 9. Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2,9 ja hypotenuusa on 4,8, jolloin toisen kateetin pituus on

Suorakulmaisen kolmion eri sivujen ja kulmien suuruden ratkaisemiseen voidaan käyttää hyväksi trigonomertrisia funktioita.

( 50 )

(sanallisesti: "kulman sini on vastaisen kateteetin suhde hypotenuusaan").

( 51 )

(sanallisesti: "kulman kosini on viereisen kateteetin suhde hypotenuusaan").

( 52 )

(sanallisesti: "kulman tangentti on vastaisen kateteetin suhde viereiseen kateettiin").

Esimerkki 10. Suorakulmaisen kolmion molemmat kateetit ovat 1. Määritä kulmat ja hypotenuusa. Merkitään a = 1, b = 1. Tällöin

Kolmiosta saadaan seuraavat muistisäännöt:

Esimerkki 11. Tasasivuisen kolmion sivut ovat pituudeltaan 2. Määritä kolmion korkeus.

Kolmiosta saadaan seuraavat muistisäännöt:

Esimerkki 12. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2,5 ja 4,7. Määritä kulmien suuruudet.

Lasketaan aluksi sivua 2,5 vastaan olevan kulman suuruus:


Koska kolmion kulmien summan on ja yksi kolmion kulmista on suorakulma, saadaan jäljelle jäänyt kulma laskettua seuraavasti:

.

Esimerkki 13. Johdetaan yleisen kolmion pinta-alan kaava suorakulmaisen kolmion pinta-alan avulla:

Jaetaan mieleivaltainen kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon suoralla, joka on kantaa a vastaan kohtisuorassa ja kulkee kannan vastaisen kulman kautta. Molemmilla suorakulmaisilla kolmioilla on kateetti h, joka on kolmion korkeus, ja toisena kateettina niillä on kannan osat a1 ja a2. Näiden kolmoiden pinta-alat ovat A1 =  a1h ja A2 =  a2h joten koko kolmion pinta-ala on

A = A1 + A2 =  a1h +  a2h
 (a1 + a2)h =  ah.

Kolmion korkeus on voidaan toisaalta lausua sivu b ja kulman avulla:


 h = b sin() .

joten kolmion pinta-ala on  ab sin().

Tehtävä 12. Kolmion hypotenuusan pituus on 10 ja toinen kulma 34. Ratkaiset kateettien pituudet.

Tehtävä 13. Ratkaiset muistisääntöjen ja trigonometristen funktioiden laskukaavojen avulla tarkat arvot:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio