<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Trigonometristen funktioiden laskukaavoja

Esitiedot:sini ja kosini, tangentti ja kotangentti

Trigonometrisiin funktioihin liittyy muutama laskusääntö, joita sanotaan yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi. Näissä kaavoissa on lähtökohtana se, että tunnetaan lukujen x ja y trigonometriset funktiot ja näiden avulla esitetään lukujen x + y ja x - y trigonometriset funktiot. Seuraavassa luettelo yllä mainituista kaavoista:

( 29 ) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),

( 30 ) sin(x - y) = sin(x) cos(y) - cos(x) sin(y),

( 31 ) cos(x + y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y),

( 32 ) cos(x - y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y),

( 33 )

( 34 )

Sinin ja kosinin sitoo toisiinsa muiden ohessa seuraava kaava:

( 35 ) sin2(x) + cos2(x) = 1.

Edellisessä sin2(x) tarkoittaa funktion arvon korottamista toiseen potenssiin. Matemaattiset ohjelmat eivät kuitenkaan tunne tällaista merkitsemistapaa, vaan potenssi on ilmaistava muodossa sin(x)2 tai (sin(x))2.

Kaksinkertaisten kulmien kaavoja:

( 36 ) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x),

( 37 ) cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2 cos2(x) - 1 = 1 - 2 sin2(x),

( 38 )

( 39 )

Puolikkaiden kulmien kaavoja:

( 40 )

( 41 )

( 42 )

( 43 )

Edellisissä kaavoissa etumerkki riippuu siitä, missä neljänneksessä alkuperäinen kulma on ollut ja mihin neljännekseen kulman puolikas joutuu.

Esimerkki 4. Ratkaise x:


Kerrotaan yhtälöä puolittain luvulla :


Koska arccos(1) = 2n (n  Z), saadaan

Esimerkki 5. Esitetään kosinin lauseke tangentin avulla:





Etumerkki valitaan sen mukaan, missä neljänneksessä kulma on.

Tehtävä 8. Ratkaise seuraavat yhtälöt

a) sin(2x) = cos(x)

b)

Tehtävä 9. Esitä lauseke tan(2x) käyttämällä siniä ja kosinia.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio