<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Arkusfunktiot

Esitiedot:sini ja kosini, tangentti ja kotangentti

Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, saavat ne saman arvon usealla eri kulman arvolla. Täten muotoa

sin(x) = a,   -1  a  1,

cos(x) = a,   -1  a  1,

tan(x) = a,   a  R,

cot(x) = a,   a  R,

olevilla funktioilla on ääretön määrä ratkaisuja. Mikäli kuitenkin rajoitutaan sopivalle välille, saadaan yksi mahdollinen ratkaistu x = , jonka avulla voidaan lausua kaikki muutkin mahdolliset juuret.

Valitaan toistaiseksi seuraavat aidosti monotoniset kuvaukset:

( 16 ) sin: [- [-1, 1],

( 17 ) cos: [0,  [-1, 1],

( 18 ) tan: (- R,

( 19 ) cot: (0,  R.

Kuva 10. Monotoniset osuudet trigonometrisistä funktioista

Koska kuvaukset ovat aidosti monotonisia, on niille olemassa käänteisfunktiot eli arkusfunktiot seuraavasti (n  Z):

Määritelmä 6. Jos sin(x) = a, on tällöin

( 20 )  = arcsin(a)

ja kaikki mahdolliset ratkaisut ovat

( 21 ) x =  + n  2  x =  -  + n  2.

Määritelmä 7. Jos cos(x) = a, on tällöin

( 22 )  = arccos(a)

ja kaikki mahdolliset ratkaisut ovat

( 23 ) x =  + n  2  x = - + n  2.

Määritelmä 8. Jos tan(x) = a, on tällöin

( 24 )  = arctan(a)

ja kaikki mahdolliset ratkaisut ovat

( 25 ) x =  + n  .

Määritelmä 9. Jos cot(x) = a, on tällöin

( 26 )  = arccot(a)

ja kaikki mahdolliset ratkaisut ovat

( 27 ) x =  + n  .

Arkusfunktiota saatetaan merkitä myös seuraavilla tavoin:

( 28 ) arcsin(x) = asin(x) = sin-1(x)

Huomaa, että viimeinen merkintä ei tarkoita käänteislukua .

Huomaa myös, että merkinnällä x tarkoitetaan tilanteesta riipuen joko tuntemattoman kulman suuruutta, kuten edellisissä kaavoissa, tai vaihtoehtoisesti kehäpisteen x -koordinaatin arvoa, kuten seuraavassa.

Esimerkki 3. Laske sellaisen yksikköympyrän kehäpisteen y -koordinaatti, jolla x -koordinaatti on 0,8.

Edellisen kaavojen mukaisti saadaan kehäpistettä vastaamaan kaksi vaihtoehtoista kulmaan:

 = arccos(0,8)  36,870
 1 = - = -36,870  2 =  = 36,870
 y1 = sin(1) = -0,600  y2 = sin(2) = 0,600.

Vaihtoehtoiset kehäpisteet ovat (0,8, -0,6) ja (0,8, 0,6).

Tehtävä 7. Laske kulmien suuruudet, kun

a) sin() = -0,95

b) cos() = 0,75

c) tan() = 1,5

d) cot() = -0,8


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio