<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Sini ja kosini

Esitiedot:yksikköympyrä ja suunnattu kulma

Seuraavaksi tarkastellaan trigonometrisia funktioita sini ja kosini.

Koska jokaista suunnattua kulmaa vastaa täsmälleen yksi yksikköympyrän kehäpiste, niin on olemassa kuvaus suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden joukolle. Siis on olemassa myös kuvaukset suunnattujen kulmien joukolta kehäpisteiden x- ja y-koordinaattien joukoille.

Kuva 4. Sini ja kosini yksikköympyrässä

Näillä funktioilla on matematiikassa suuri merkitys. Niinpä niille on annettu omat nimitykset, kosini (cos) ja sini (sin):

Määritelmä 4. Kulman sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y -koordinaatti.

Kuva 5. Sinikäyrä

Animaatio 1. Tämä animaatio havainnollistaa sinikäyrän piirtämistä.

Määritelmä 5. Kulman kosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x -koordinaatti.

Kuva 6. Kosinikäyrä

Sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1], ne ovat jaksollisia ja molempien perusjakso on 2:

( 1 ) sin() = sin( + n  2),

( 2 ) cos() = cos( + n  2),

missä n  Z.

Sini on pariton funktio ja kosini parillinen funktio eli

( 3 ) sin(-) = -sin(),

( 4 ) cos(-) = cos().

Seuraavat yhteydet saadaan helposti yksikköympyrän avulla eri kulmien välille:

( 5 ) sin( - ) = -sin( + ) = sin(),

( 6 ) cos( - ) = cos( + ) = -cos().

Kuva 7. Sini ja kosini eri yksikköympyrän neljänneksissä.

Kulman kosini on sen komplementtikulman sini ja kulman sini on sen komplementtikulman kosini. Matemaattisesti ilmaistuna sama asia saa muodon

( 7 ) ,

( 8 ) .

Tehtävä 3. Piirrä käyrät y = sin(2x) ja y = sin(3x) samaan koordinaatistoon.

Tehtävä 4. Laske seuraavien lausekkeiden likiarvot:

a) sin(45)

b) sin(75)

c) cos(-0,74 rad)

d)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio