<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Yksikköympyrä ja suunnattu kulma

Esitiedot: (kanta ja koordinaatisto)

Määritelmä 1. Yksikköympyrä on suorakulmaiseen, tasamittaiseen koordinaatistoon piirretty, origokeskinen ja yksi säteinen ympyrä. Tällöin se leikkaa x- ja y-akselit kohdissa 1 sekä -1. Yksiköympyrää käytetään varsin usein etenkin trigonometriset funktioiden tarkastelussa.

Kuva 1. Yksikköympyrä

Koordinaattiakselit jakavat yksikköympyrän neljään osaan. Eri neljänneksiä merkitään roomalaisin numeroin edellisen kuvan tapaan.

Määritelmä 2. Suunnattu kulma on sellainen kulma, joka muodostuu jokin puolisuoran kiertyessä tasossa alkupisteensä ympäri.

Kiertymisen määrää ei mitenkään rajoiteta. Puolisuoran alkuasemaa sanotaan kulman alkukyljeksi ja loppuasemaa kulman loppukyljeksi. Positiivisena kiertosuuntana pidetään vastapäivään tapahtuvaa kiertoa ja negatiivisena kiertoa myötäpäivään. Kiertosuunnan mukaisesti pidetään suunnattua kulmaa positiivisena tai negatiivisena.

Kuva 2. Suunnattu kulma

Useassa yhteydessä merkitystä on vain suunnatun kulman suuruudella. Tällöin voimme ajatella kulman piirretyksi koordinaatistoon siten, että sen kärkenä on origo ja alkukylkenä positiivinen x-akseli. Pistettä P, jossa :n loppukylki leikkaa yksikköympyrän, sanotaan kulman kehäpisteeksi.

Kuva 3. Kehäpiste P yksikköympyrällä

Jokaista suunnattua kulmaa vastaa täysin määrätty suunnattu kaari. Kaaren suuruutta voidaan käyttää myös vastaavan suunnatun kulman suuruuden ilmoittamiseen. Täten määriteltyä kulman suuruuden yksikköä nimitetään radiaaniksi.

Määritelmä 3. Yksi radiaani (1 rad) on sen kulman suuruus, jota vastaavan suunnatun kaaren suuruus on 1.

Radiaania sanotaan myös absoluuttiseksi kulmayksiköksi. Jos kulman suuruuden yksikkönä käytetään radiaania ja asiayhteydestä käy ilmi, että kyse on kulman suuruudesta, niin yksikköä ei yleensä merkitä näkyviin. Täyttä kulmaa, eli yhtä kierrosta, vastaava kaari on yksikköympyrän kehä. Sen pituus on 2. Näin ollen 360 = 2.

Vaikka jokaisella kulmalla on yksikäsitteisesti määrätty kehäpiste, niin kehäpiste puolestaan ei määrää suunnattua kulmaa yksikäsitteisesti, sillä lisäksi tarvitaan tieto kiertosuunnasta ja siitä, montako täyttä kierrosta kiertoon sisältyy. Jos kulmalla on kehäpisteenä P, niin kaikilla joukon kulmilla ja vain niillä on kehäpisteenä P.

Esimerkki 1. Edellä olleessa kuvassa 3 kulma on noin 2,1 rad. Sama kehäpiste P voidaan ilmaista myös kiertämällä myötäpäivään, jolloin saadaan kulma -4,2 tai tekemällä ensin kaksi täyttä kierrosta vastapäivään, jolloin kulman suuruus on 2  2 + 2,1  14,7.

Esimerkki 2. Kulman 2,1 rad suuruus asteina saadaan ratkaisemalla verranto:

Tehtävä 1. Kuinka suuri on kulman suuruus asteina, kun sen suuruus radiaaneina on

a) 0,111 rad

b)

c)

Tehtävä 2. Kuinka suuri on kulman suuruus radiaaneina, kun sen suuruus asteina on

a) 45

b) -175

c) 400


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio