<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Jonot

Esitiedot:lausekkeet

Jos jonkin joukon alkioita on asetettu täysin määrättyyn muuttamattomaan järjestykseen, muodostuu jono. Jonoa merkitään esimerkiksi kaarisulkeilla ja sama joukon alkio voi esiintyä jonossa monta kertaa. Jonoksi järjestettyjä joukon alkiota nimitetään jonon jäseniksi.

Esimerkki 1. Jonot (1, 1, 2), (1, 2, 3), (3, 1, 2) ja (2, 2, 3, 1) ovat joukon {1, 2, 3} alkioista muodostettuja jonoja.

Yleisiä jonotyyppejä ovat kahden alkion muodostama järjestetty pari ja kolmen alkion järjestetty kolmikko.

Jonoa, joka muodostuu äärettömän monesta alkiosta, sanotaan päättymättömäksi lukujonoksi ja muut jonot ovat päättyviä. Usein puhuttaessa jonosta tarkoitetaan nimenomaan päättymätöntä lukujonoa. Järjestetyt parit ja järjestetyt kolmikot ovat siis erikoistapauksia lukujonoista.

Olkoon f reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukkona on Z+. Tällöin funktion arvot f(1), f(2), f(3), ... muodostavat päättymättömän lukujonon. Lukujonon n:ttä jäsentä sanotaan sen yleiseksi jäseneksi ja tälle on tapana käyttää merkintää an. Tällöin itse lukujono voidaan esittää muodossa

( 1 ) a1, a2, a3, ..., an-1, an, an+1, ....

Sille käytetään myös seuraavia merkintöjä

( 2 )

( 3 ) (an).

Vastaavasti käytetään päättyvälle k-jäseniselle lukujonolle a1, a2, ..., ak merkintää

( 4 ) .

Jotta lukujono olisi määrätty, on tunnettava sääntö (esim. funktio) , joka ilmoittaa jonon yleisen jäsenen an. Yksinkertainen tapa määritellä lukujono on antaa jäsenen an lauseke.

Esimerkki 2. Lukujonot ja on määritelty yleisen jäsenen lausekkeen avulla.

Lukujono voidaan määrittää myös siten, että annetaan muutamia sen ensimmäisiä jäseniä sekä niin sanottu palautus- eli rekursiokaava, jolla voidaan laskea mikä tahansa jonon jäsen edellisten jäsenten avulla.

Esimerkki 3. Fibonaccin jono määritellään rekursiokaavan avulla seuraavasti:

( 5a ) F1 = 1,

( 5b ) F2 = 1,

ja palautuskaava on muotoa

( 5c ) Fn+2 = Fn+1 + Fn, n  Z+

jolloin seuraavia jonon termejä ovat 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 ja 5 + 3 = 8.

Määritelmä 1. Reaalilukua a sanotaan lukujonon (an) raja-arvoksi, jos ehto

( 6 )   > 0 :  k  Z+ : n > k  

on voimassa. Tällöin käytetään merkintää

( 7 )

Mikäli tämä raja-arvo on olemassa, sanotaan että jono suppenee. Muussa tapauksessa jono hajaantuu.

Määritelmä 2. Olkoot (an) ja (bn) lukujonoja. Niistä voidaan peruslaskutoimituksien avulla muodostaa muun muassa jonot

( 8 ) (an + bn),

( 9 ) (an - bn),

( 10 ) (anbn),

( 11 )

Viimeksi mainittu jono on määritelty vain, jos  n  Z+ : bn  0. Näiden uusien jonojen raja-arvot on mahdollista määrittää alkuperäisten jonojen raja-arvojen avulla:

Määritelmä 3. Olkoon ja . Tällöin

( 12 )

( 13 )

( 14 )

( 15 )

Viimeksi mainittuja raja-arvon laskusääntöjä voidaan soveltaa hajoittamalla tarkasteltava lukujono sellaisiksi lukujonoiksi, joiden raja-arvot tunnetaan. Tällaisia "perusjonoja" ovat muun muassa:

Määritelmä 4. Vakiojono

( 16 )

Määritelmä 5. Harmoninen jono

( 17 )

Tehtävä 1. Määritä jonon , n  Z+ ensimmäiset kolme termiä.

Tehtävä 2. Määritä jonon a1 = 1, , n  Z+ ensimmäiset kuusi termiä.

Tehtävä 3. Tutki, mitkä seuraavista jonoista suppenevat, n  Z+:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio