<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Lukusuora

Esitiedot:ääretön

Reaalilukujoukon geometrisena vastineena käytetään usein lukusuoraa. Tähän liittyen luvusta a  R voidaan käyttää myös sanontoja kohta a tai piste a, jotka kaikki tarkoittavat samaa.

Järjestysominaisuuden perusteella voidaan määritellä R:n osajoukkoja, joita sanotaan väleiksi.

Määritelmä 16. Avoin väli on lukusuoralta rajoitettu väli, jonka päätepisteet eivät kuulu mukaan, mutta kaikki niiden välissä olevat pisteet kuuluvat mukaan. Päätepisteiden kuulumattomuus ilmaistaan yleensä kaarisuluilla tai väärään suuntaan kirjoitetulla hakasululla. Lukusuoralla piirretään vastaavasti rengas väliin kuulumattoman päätepisteen kohdalle:

( 43 ) .

Määritelmä 17. Suljettu väli on lukusuoran rajoitettu väli, jossa päätepisteineen kaikki välin pisteet kuuluvat joukkoon. Päätepisteiden kuuluvuus joukkoon ilmaistaan tavallisilla hakasuluilla. Lukusuoralla väliin kuuluva päätepiste piirretään mustatulla ympyrällä:

( 44 ) .

Määritelmä 18. Puoliavoimessa välissä toinen päätepisteistä ei kuulu joukkoon mukaan.

( 45 ) ,

( 46 ) .

Määritelmä 19. Pisteen a avoin -ympäristö on väli

( 47 ) B(a) = (a - a + ).

Määritelmä 20. Punkteerattu ympäristö eli a:n aito ympäristä

( 48 ) B(a) - {a}.

Määritelmä 21. Ei-rajoitetuissa väleissä on annettu vain toinen raja toisen ollessa miinus tai plus ääretön. Koska ääretön ei kuulu reaalilukujen joukkoon, on väli siksi avoin.

Alarajana -:

( 49 ) ,

( 50 ) .

Ylärajana :

( 51 ) ,

( 52 ) .

Esimerkki 2. Erityisesti

,

.

Tehtävä 6. Olkoon , l  Z+. Määritä

a) A1  A2

b) A1  A2

Tehtävä 7. Osoita, että  xyz  R

a) x > y  x - y > 0

b) x < 0  y < z  xy > xz

c)

d)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio