<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Täydellisyysaksioomat

Esitiedot:järjestysaksioomat

Reaalilukujoukon kaikkien ominaisuuksien määrittelemiseen tarvitaan lisäksi niin sanottu täydellisyysaksiooma.

Määritelmä 4. Olkoon A ei-tyhjä R:n osajoukko. Jos joukosta A löytyy alkio x1, joka toteuttaa ehdon

( 19 )  x  A : x  x1,

niin x1 on joukon A suurin alkio

( 20 ) x1 = max(A).

Määritelmä 5. Olkoon A ei-tyhjä R:n osajoukko. Jos joukosta A löytyy alkio x2, joka toteuttaa ehdon

( 21 )  x  A : x2  x,

niin x2 on joukon A pienin alkio

( 22 ) x2 = min(A).

Määritelmä 6. Luku M  R on joukon A yläraja jos

( 23 )  x  A : x  M

ja tällöin sanotaan, että joukko A on ylhäältä rajoitettu.

Määritelmä 7. Luku L  R on joukon A alaraja, jos

( 24 )  x  A : L  x

ja A on alhaalta rajoitettu.

Esimerkki 1.. Nyt max(A1) = 1 ja pienintä alkiota ei ole, sillä jos olisi pienin alkio x2  A1, niin joukossa A1 olisi myös alkio x2' = x2, jolloin x2 x2.

Joukon ylärajaksi käy esimerkiksi luku 3 ja alarajaksi -2. A1 on sekä ylhäältä rajoitettu että alhaalta rajoitettu. Havaitsemme, että kaikki joukon A1:n ylärajat muodostavat joukon ja alarajat muodostavat joukon .

Määritelmä 8. Jos joukon A ylärajojen joukolla on pienin alkio, niin sitä sanotaan A:n pienimmäksi ylärajaksi, supremum, ja merkitään

( 25 ) sup(A).

Määritelmä 9. Jos joukon A alarajojen joukolla on suurin alkio, niin sitä sanotaan A:n suurimmaksi alarajaksi, infimum, merkitään

( 26 ) inf(A).

Määritelmä 10. Täydellisyysaksiooma: Jokaisella ei-tyhjällä ja ylhäältä rajoitetulla joukolla A  R on supremum: sup(A R.

Tästä voidaan johtaa lisäksi: Jokaisella ei-tyhjällä ja alhaalta rajoitetulla joukolla A  R on infimum: inf(A R.

Edellisessä esimerkissä inf(A1) = 0 ja sup(A1) = 1.

Tehtävä 5. Jos x on rationaaliluku (x  0) ja y irrationaaliluku, niin perustele että myös seuraavat ovat irrationaalilukuja:

a) x + y

b) xy


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio