Esitiedot:kvanttorit, rationaali- ja irrationaaliluvut Määritelmä 3. Reaaliluvut koostuvat rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista.
Ne muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo (
). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z 
R.
Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki
( 2 ) 
x, y : x + y = y + x.
Aksiooman mukaan yhteenlaskun lopputulos ei riipu siitä, kumpaan lukuun toinen luku lisätään.
Aksiooma 2. Yhteenlaskun liitäntälaki
( 3 ) x, y, z : x + (y + z) = (x + y) + z.
Yhteenlaskussa suoritusjärjestys ei vaikuta lopputulokseen, eli voidaan vapaasti valita haluttu suoritusjärjestys.
Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkio
( 4 ) 
0 R : x : x + 0 = 0 + x = x.
On siis olemassa yksi alkio, jonka lisääminen mihin tahansa reaalilukuun ei muuta sen suuruutta.
( 5 ) x : y : x + y = y + x = 0.
Siis jokaista reaalilukua kohti on olemassa yksi alkio, joka lisättynä alkuperäiseen lukuun antaa lopputulokseksi yhteenlaskun neutraalialkion. Luku y on x:n vastaluku ja merkitään -x.
Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki
( 6 ) x, y : x y = x y.
Samoin kuin yhteenlaskulla, niin kertolaskun lopputulos ei riipu siitä, kumpi luku kerrotaan toisella luvulla. Usein operaation merkki "" jätetään pois ja merkitään pelkästään xy.
Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki
( 7 ) x, y, z : x(yz) = (xy)z.
Kertolaskussa suoritusjärjestys ei vaikuta lopputulokseen, eli voidaan vapaasti valita haluttu suoritusjärjestys.
( 8 ) x, y, z : x(y + z) = xy + xz.
Jos summaa ollaan kertomassa, niin voidaankin ensin suorittaa kunkin yhteenlaskettavan kertominen ja sitten vasta laskea saadut tulot yhteen.
Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkio
( 9 ) 1 R : x : x 1 = 1 x = x.
On siis olemassa yksi alkio, jolla voidaan kertoa mikä tahansa reaalilukuun sen suuruutta muuttamatta.
( 10 ) x R - {0} : y : xy = yx = 1.
Siis jokaista reaalilukua x 
0 kohti on olemassa yksi luku y, jolla kertomalla alkuperäinen luku antaa lopputuloksena tulon neutraalialkion. Luku y on x:n käänteisluku ja merkitään y = x-1.
Näiden laskulakien avulla määritellään vähennyslasku eli erotus ja jakolasku eli osamäärä:
( 11 ) x, y : x - y = x + (-y).
( 12 ) 
.
Reaalilukujen ohella myös rationaaliluvut toteuttavat nämä aksioomat. Sensijaan kokonaisluvut eivät, sillä niiltä puuttuu käänteisalkio ja luonnollisilla luvuilla ei ole edes vasta -alkiota.
Tehtävä 1. Olkoon reaaliluvut x 0 ja y 0. Osoita aksioomeja käyttäen, että
a) 
b) 
Tehtävä 2. Osoita aksioomeja käyttäen, että
a) (-1)(-1) = 1
b) (-x) = (-1)x
Tehtävä 3. Osoita, että kahden parittoman luvun
a) summa on parillinen
b) tulo on pariton
Tehtävä 4. Osoita, että kahden rationaaliluvun
a) summa on rationaaliluku
b) tulo on rationaaliluku