<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Kunta-aksioomat

Esitiedot:kvanttorit, rationaali- ja irrationaaliluvut

Määritelmä 3. Reaaliluvut koostuvat rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista.

Ne muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo (). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z  R.

Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki

( 2 )  xy : x + y = y + x.

Aksiooman mukaan yhteenlaskun lopputulos ei riipu siitä, kumpaan lukuun toinen luku lisätään.

Aksiooma 2. Yhteenlaskun liitäntälaki

( 3 )  xyz : x + (y + z) = (x + y) + z.

Yhteenlaskussa suoritusjärjestys ei vaikuta lopputulokseen, eli voidaan vapaasti valita haluttu suoritusjärjestys.

Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkio

( 4 )  0  R :  x : x + 0 = 0 + x = x.

On siis olemassa yksi alkio, jonka lisääminen mihin tahansa reaalilukuun ei muuta sen suuruutta.

Aksiooma 4. Vastaluku

( 5 )  x :  y : x + y = y + x = 0.

Siis jokaista reaalilukua kohti on olemassa yksi alkio, joka lisättynä alkuperäiseen lukuun antaa lopputulokseksi yhteenlaskun neutraalialkion. Luku y on x:n vastaluku ja merkitään -x.

Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki

( 6 )  xy : x  y = x  y.

Samoin kuin yhteenlaskulla, niin kertolaskun lopputulos ei riipu siitä, kumpi luku kerrotaan toisella luvulla. Usein operaation merkki "" jätetään pois ja merkitään pelkästään xy.

Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki

( 7 )  xyz : x(yz) = (xy)z.

Kertolaskussa suoritusjärjestys ei vaikuta lopputulokseen, eli voidaan vapaasti valita haluttu suoritusjärjestys.

Aksiooma 7. Osittelulaki

( 8 )  xyz : x(y + z) = xy + xz.

Jos summaa ollaan kertomassa, niin voidaankin ensin suorittaa kunkin yhteenlaskettavan kertominen ja sitten vasta laskea saadut tulot yhteen.

Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkio

( 9 )  1  R :  x : x  1 = 1  x = x.

On siis olemassa yksi alkio, jolla voidaan kertoa mikä tahansa reaalilukuun sen suuruutta muuttamatta.

Aksiooma 9. Käänteisluku

( 10 )  x  R - {0} :  y : xy = yx = 1.

Siis jokaista reaalilukua x  0 kohti on olemassa yksi luku y, jolla kertomalla alkuperäinen luku antaa lopputuloksena tulon neutraalialkion. Luku y on x:n käänteisluku ja merkitään y = x-1.

Näiden laskulakien avulla määritellään vähennyslasku eli erotus ja jakolasku eli osamäärä:

( 11 )  xy : x - y = x + (-y).

( 12 ) .

Reaalilukujen ohella myös rationaaliluvut toteuttavat nämä aksioomat. Sensijaan kokonaisluvut eivät, sillä niiltä puuttuu käänteisalkio ja luonnollisilla luvuilla ei ole edes vasta -alkiota.

Tehtävä 1. Olkoon reaaliluvut x  0 ja y  0. Osoita aksioomeja käyttäen, että

a)

b)

Tehtävä 2. Osoita aksioomeja käyttäen, että

a) (-1)(-1) = 1

b) (-x) = (-1)x

Tehtävä 3. Osoita, että kahden parittoman luvun

a) summa on parillinen

b) tulo on pariton

Tehtävä 4. Osoita, että kahden rationaaliluvun

a) summa on rationaaliluku

b) tulo on rationaaliluku


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio