<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Avoimen lauseen konnektiivit

Esitiedot:joukkojen perusoperaatioita, loogiset konnektiivit

Myös avoimista lauseista voidaan muodostaa uusia avoimia lauseita konnektiivien avulla. Olkoot p(x) ja q(x) avoimia lauseita joiden määrittelyjoukko on M. Tarkastellaan näistä avoimista lauseista muodostettujen yhdistettyjen avoimien lauseiden totuusarvoa.

Määritelmä 18. Avoin lause p(x) on tosi täsmälleen silloin, kun x  M - Rj(p), eli lauseen negaation toteuttavat ne määrittelyjoukon alkiot, jotka eivät kuulu alkuperäisen lauseen ratkaisujoukkoon. Toisin sanoen Rj(p) = M - Rj(p)

Määritelmä 19. Avoin lause p(x q(x) on tosi täsmälleen silloin, kun x  Rj(p Rj(q), eli kahden avoimen lauseen konjuktion toteuttavat ne perusjoukon alkiot, jotka kuuluvat samaan aikaan kummankin alkuperäisen lauseen ratkaisujoukkoon eli niiden leikkaukseen. Toisin sanoen Rj(p  q) = Rj(p Rj(q).

Määritelmä 20. Avoin lause p(x q(x) on tosi täsmälleen silloin, kun x  Rj(p Rj(q), eli kahden avoimen lauseen disjunktion toteuttavat ne perusjoukon alkiot, jotka kuuluvat vähintään toiseen alkuperäisten lauseiden ratkaisujoukoista eli niiden unionista. Toisin sanoen Rj(p  q) = Rj(p Rj(q).

Määritelmä 21. Tautologialla tarkoitetaan lauseketta, joka on tosi siitä riippumatta, mitä ovat siinä olevien muuttujien totuusarvot.

Määritelmä 22. Avoimien lauseiden implikaatio p(x q(x) on tautologia täsmälleen silloin, kun Rj(p Rj(q), eli ensimmäisen lauseen ratkaisujoukko on toisen lauseen ratkaisujoukon osajoukko. Tällöin voimme kirjoittaa  xp(x q(x).

Määritelmä 23. Avoimien lauseiden ekvivalenssi p(x q(x) on tautologia täsmälleen silloin, kun Rj(p) = Rj(q), eli alkuperäisillä lauseilla on sama ratkaisujoukko. Tällöin voimme kirjoittaa  xp(x q(x).

Esimerkki 8. Olkoon p(x): "x = 2", Mj(p) = Z ja q(x): "x2 = 4", Mj(q) = Z, joten tällöin Rj(p) = {2}, Rj(q) = {-2, 2}

a) Avoimen lauseen q(x) ratkaisujoukko on Z - {-2, 2}.

b) Avoimen lauseen p(x q(x) ratkaisujoukko on {2}.

c) Avoimen lauseen p(x q(x) ratkaisujoukko on {-2, 2}.

d) Avoin lause p(x q(x) on tautologia, koska Rj(p Rj(q). Eli lause  xp(x q(x) on tosi. Esimerkiksi kun x = -2, on lause "p(-2)  q(-2)" tosi.

e) Avoin lause q(x p(x) ei ole tautologia, sillä Rj(p Rj(q). Täten lause  xq(x p(x) on epätosi. Esimerkiksi kun x = -2, on lause "q(-2)   p(-2)" epätosi. Kuitenkin lause  xq(x p(x) on tosi (x = 2).

f) Koska Rj(p Rj(q), avoin lause p(x q(x) ei ole tautologia.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio