<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Loogiset konnektiivit

Esitiedot:logiikan määritelmiä

Annetuista lauseista voidaan muodostaa uusia lauseita loogisten konnektiivien eli operaatioiden avulla. Lähtökohtana ovat tällöin normaalikielen eräät sanonnat, joille annetaan täsmällinen merkitys. Yleisesti käytetyt konnektiivit ovat negaatio, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi.

Negaatiota sovelletaan yhteen lauseeseen. Muut konnektiivit yhdistävät kaksi lausetta, joista tällöin muodostuu yhdistetty lause. Loogisten konnektiivien merkitys on esitetty seuraavassa niin sanottujen totuustaulujen avulla.

Määritelmä 10. Negaatio on looginen konnektiivi, jolla määritetään lauseen vastakohta, eli jos lause on tosi, on sen negaatio epätosi. Lauseen p negaatiolle käytetään merkintää p (lue: "negaatio p", "ei p").

Taulukko 1. Negaation totuustaulu:

p

p
t
e
e
t

Määritelmä 11. Kahden lauseen samanaikainen voimassaolo voidaan ilmaista konjunktiolla. Lauseiden p ja q konjunktiolle käytetään merkintää p  q (lue: "p ja q").

Taulukko 2. Konjunktion totuustaulu:

p

q
p  q
t
t
t
t
e
e
e
t
e
e
e
e

Määritelmä 12. Disjunktio on looginen konnektiivi, joka ilmaisee kahdesta lauseesta ainakin toisen voimassaolon. Lauseiden p ja q disjunktiolle käytetään merkintää: p  q (lue: "p tai q").

Taulukko 3. Disjunktion totuustaulu:

p

q
p  q
t
t
t
t
e
t
e
t
t
e
e
e

Esimerkki 5. Olkoon p: "2 < 3" ja q: "3 < -1". Tällöin

a) q on tosi,

b) p  q on epätosi,

c) p  q on tosi.

Määritelmä 13. Luonnollisen kielen lause "jos p, niin q" ilmaistaan loogiikassa implikaatiolla: p  q (lue: "jos p, niin q", "p:stä seuraa q", "p implikoi q:n"). Ilmaistaan siis seurausta totuuksien välillä.

Taulukko 4. Totuustaulu implikaatiolle:

p

q
p  q
(p q
t
t
t
t
t
e
e
e
e
t
t
t
e
e
t
t
Kuten taulukon esityksestä havaitaan, on lauseella "p  q" täysin samat totuusarvot kuin lauseella "(p q", joka voidaan aina kirjoittaa lauseen "p  q" paikalle ja saadaan laskulaki

( 5 ) p  q = (p q.

Määritelmä 14. Ekvivalenssi on looginen konnektiivi, joka ilmaisee kahden lauseen keskinäisten totuusarvojen suhteen. Lauseiden p ja q ekvivalenssille käytetään merkintää p  q (lue: "p täsmälleen silloin, kun q", "p ekvivalentti q:n kanssa", "p jos ja vain jos q").

Taulukko 5. Totuustaulu ekvivalenssille:

p

q
p  q
t
t
t
t
e
e
e
t
e
e
e
t
Sanallisesti ilmaistun lauseen "p  q ja q  p" tulee olla totuusarvoltaan täsmälleen sama kuin lauseen "p  q". Varmistetaan tämä asia totuustaululla:

p

q
p  q
q  p
(p  q) (q  p)
p  q
t
t
t
t
t
t
t
e
e
t
e
e
e
t
t
e
e
e
e
e
t
t
t
t
Joten saadaan laskulaki

( 6 ) p  q = (p  q) (q  p).

Tehtävä 1. Olkoon lause p tosi ja lause q epätosi. Määritä seuraavien lauseiden totuusarvot:

a) p  (q  q)

b) (p  q (p  q)

c) (q  p q

d) (q  p q


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio