<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Logiikan määritelmiä

Esitiedot:kokonaislukujen joukko, joukkojen määritelmiä

Logiikan peruskäsitteitä ovat lause ja avoin lause.

Määritelmä 1. Lause on ilmaisu, jolla on totuusarvo: lause on joko tosi (t) tai epätosi (e). Lauseita merkitään yleensä pienillä kirjaimilla p, q, r, ....

Esimerkki 1. Lauseita

p: "3 + 4 = 7" on tosi lause.

q: "1 + 2 = 4" on epätosi lause.

Tällöin lause p voidaan aina esityksessä korvata totuusarvolla t eli merkisemällä p = t. Vastaavasti q = e.

Määritelmä 2. Ilmiasu "3 + 4" ei ole lause, koska sillä ei ole totuusarvoa. Sitä voidaan kuitenkin kutsua nimellä lauseke.

Määritelmä 3. Avoin lause on ilmaisu, jossa on muuttuja, jonka arvo vaikuttaa ilmaisun totuusarvoon. Muuttujan arvot ovat jostakin perusjoukosta E ja sijoittamalla muuttujan paikalle sopiva perusjoukon alkio saadaan avoimesta lauseesta lause. Muuttujia voi olla myös useita.

Määritelmä 4. Olkoon p(x) avoin lause, jossa on siis yksi muuttuja x. Ne perusjoukon alkiot, joilla avoimesta lauseesta tulee lause, muodostavat avoimen lauseen määrittelyjoukonMj:

( 1 ) .

Jos lause on määritelty kaikille perusjoukon alkioille, on määrittelyjoukko silloin sama kuin perusjoukko. Joskus perusjoukosta on rajoitettava osa alkioista pois, joten lauseen määrittelyjoukko on silloin perusjoukon osajoukko.

Esimerkki 2. Avoin lause r(x) = "x < 7" (lue: "x on pienempi kuin 7"), Mj(r) = Z+.

a) r(8) on epätosi lause.

b) r(5) on tosi lause.

Määritelmä 5. Erityisesti ne perusjoukon alkiot, joilla p(x) on tosi, muodostavat p:n ratkaisujoukonRj(p):

( 2 ) .

Määritelmä 6. Jos ratkaisujoukko Rj(p) = Ø, niin p(x) on identtisesti epätosi.

Määritelmä 7. Jos Rj(p) = Mj(p), niin p(x) on identtisesti tosi eli tautologia. Se toteutuu kaikilla määrittelyjoukon alkioilla.

Esimerkki 3.

a) s(x) = "x > 0", Mj(s) = Z+, Rj(s) = Mj(s), joten s(x) on identtisesti tosi avoin lause.

b) s(x) = "x > 0", Mj(s) = Z-, Rj(s) = Ø, jolloin s(x) on identtisesti epätosi avoin lause.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio