<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Logaritmifunktio

Esitiedot:eksponenttifunktio

Määritelmä 2. Eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, jos a  1. Siis tässä tapauksessa eksponenttifunktiolla on olemassa käänteisfunktio f-1 : R+  R. Tätä käänteisfunktiota sanotaan logaritmifunktioksi ja siitä käytetään merkintää

( 7 ) loga(x),

missä a on logaritmin kantaluku ja x on logaritmoitava. Eksponenttifunktion käänteisfunktiona logaritmifunktio tulkitaan seuraavasti: Luku a korotettuna luvun loga(x) ilmoittamaan potenssiin antaa tulokseksi luvun x. Siis

( 8 ) .

Mainittakoon vielä, että myös logaritmin kantaluku a > 0. Logaritmifunktioita nimitetään kantaluvun perusteella eri tavoin. Sanotaankin, että kantaluku määrittää logaritmijärjestelmän.

Tärkein logaritmijärjestelmä on Neperin logaritmijärjestelmä eli luonnollinen logaritmijärjestelmä. Tämän järjestelmän logaritmistä käytetään merkintää ln(x):

( 9 ) ln(x) = loge(x).

Toinen tärkeä logaritmijärjestelmä on Briggsin logaritmijärjestelmä. Sen kantaluku on 10 ja siitä käytetään merkintää lg(x):

( 10 ) lg(x) = log10(x).

Toisinaan erityisesti informatiikassa käytetään binääristä logaritmijärjestelmää ja sen kantaluku on 2. Siitä käytetään merkintää lb(x):

( 11 ) lb(x) = log2(x).

Logaritmifunktion kuvaajan asymptoottina on aina y-akseli.

Määritelmä 3. Logaritmijärjestelmästä toiseen siirrytään seuraavasti: Olkoot a ja b logaritmijärjestelmien kantalukuja. Halutaan muuttaa luku loga(x) b -kantaiseen logaritmijärjestelmään, siis luvuksi logb(x). Tämä tehdään yhtälön

avulla.

Kuva 3. Logaritmifunktioita.

Kuva 4. Logaritmifunktioita.

Tarkastellaan seuraavaksi logaritmifunktion ominaisuuksia. Luetellaan aluksi muutamia määritelmään perustuvia ominaisuuksia.

( 12 )  x  R : loga(ax) = x,

( 13 ) loga(1) = 0,

( 14 ) loga(a) = 1,

( 15 ) .

Kertolaskun logaritmi on tekijöiden logaritmien yhteenlasku eli

( 16 ) log(xy) = log(x) + log(y).

Jakolaskun logaritmi on jaettavan ja jakajan logaritmin vähennyslasku eli

( 17 )

Potenssin logaritmi on kantaluvun logaritmin ja eksponentin kertolasku eli

( 18 ) log(xr) = r log(x).

Esimerkki 3. Sievennetään lauseke



.

Tehtävä 2. Piirrä funktion log(x) kuvaaja.

Tehtävä 3. Laske

a) lb(25) - lb(50)

b) lg(15) + lg(20) - lg(30)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio