<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Eksponenttifunktio

Esitiedot:potenssi

Määritelmä 1. Potenssimerkintä ax on määritelty kaikilla reaaliluvuilla x, kun a > 0. Tämän ehdon ollessa voimassa voidaankin määritellä eksponenttifunktio

( 1 ) f : R  R+ : f(x) = ax.

Tätä funktiota sanotaan a-kantaiseksi eksponenttifunktioksi ja siitä käytetään merkintää

( 2 ) expa(x).

Eksponenttifunktion tärkeä ominaisuus on sen aito monotonisuus silloin, kun sen kantaluku poikkeaa luvusta 1. Jos f(x) = ax, (a > 0, a  1), niin

( 3 )

Tärkeimmät eksponenttifunktiot ovat kaksikantainen, kymmenkantainen ja eksponentti, jossa kantalukuna on Neperin luku (John Napier), jolle käytetään merkintää e. Neperin luku on irrationaaliluku ja sen likiarvo on e  2,71828....

( 4 ) 2x = exp2(x),

( 5 ) 10x = exp10(x),

( 6 ) ex = exp(x).

Eksponenttifunktion kuvaajan asymptoottina on aina x-akseli.

Kuva 1. Eksponenttifunktioita.

Kuva 2. Eksponenttifunktioita

Esimerkki 1. Kun A0 paperiarkki puolitetaan, saadaan kaksi A1 arkkia. Vastaavasti A1 voidaan puolittaa ja saadaan kaksi A2 arkkia. Puolitus kaksinkertaistaa arkkien määrän, joten A4 arkkeja saadaan yhdestä A0:sta yhteensä 24 = 16 kappaletta.

Esimerkki 2. Jos ketjukirje pitää lähettää aina viidelle uudelle ihmiselle, niin ensimmäisen polven kirjeitä on 5 kappaletta, toisen polven 52 = 25, kolmannessa polvessa 53 = 125, seitsemännessä jo 57 = 78 125.

Tehtävä 1. Oletetaan, että rahan arvo puoliintuu kymmenessä vuodessa. Olkoon muuttuja x aika vuosina. Piirrä funktion kuvaaja ja päättele siitä, missä ajassa rahan arvo on 30 % lähtötilanteen suuruudesta.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio