Lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen

Esitiedot:lukusuora, lineaarisen yhtälön ratkaiseminen

Kun kahden lausekkeen välillä käytetään jotakin ilmaisuista <, >, , ja , muodostuu epäyhtälö. Seuraavassa joitakin hyödyllisiä ominaisuuksia epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Sääntö 6. Epäyhtälöstä saadaan yhtäpitävä epäyhtälö, kun molemmille puolille lisätään sama luku.

Sääntö 7. Epäyhtälöstä saadaan yhtäpitävä epäyhtälö, jos sen kumpikin puoli kerrotaan samalla positiivisella luvulla. Jos ne kerrotaan negatiivisella luvulla, on relaation suunta muutettava.

Esimerkki 15. Ratkaistaan epäyhtälö

3x - 4 > 5x + 2
 -2x > 6
 x < -3.

Erityistapauksena epäyhtälöistä mainittakoon yhdistetty epäyhtälö. Tällaisessa yhtälössä on yhdistetty kaksi tavanomaista yhtälöä seuraavasti:

Määritelmä 9. Olkoot L₁, L₂ ja L₃ lausekkeita. Tällöin merkintä L₁ < L₂ < L₃ tarkoittaa yhdistettyä epäyhtälöä ja tulkitaan L₁ < L₂  L₂ < L₃.

Tämän kaltainen yhdistetty epäyhtälö voidaan ratkaista siten, että ensin määrätään kummankin epäyhtälön ratkaisujoukko ja sen jälkeen muodostetaan näiden ratkaisujoukkojen leikkaus. Tämä on tarkasteltavan yhdistetyn epäyhtälön ratkaisu.

Toinen yhdistetty epäyhtälö on muotoa L₁ < L₂  L₂ < L₃ ja sen ratkaisu on yksittäisten epäyhtälöiden ratkaisujoukkojen yhdiste.

Määritelmä 10. Olkoon f(x) ja g(x) identtisesti negatiiviset tai positiiviset funktiot. Epäyhtälön f(x) < g(x) ratkaisu riippuu funktioiden merkeistä seuraavasti:

f(x)	g(x)	f(x) < g(x)
+	+	ratkaisu voi olla olemassa
+	-	Rj = Ø
-	+	Rj = Mj
-	-	ratkaisu voi olla olemassa

Itseisarvoepäyhtälöiden ratkaisemisessa voidaan aina käyttää vastaavien yhtälöiden yhteydestä tuttua menetelmää: Jaetaan määrittelyjoukko osajoukkoihin, joissa itseisarvomerkit ovat poistettavissa. Joskus on kuitenkin kätevämpää muuntaa itseisarvoepäyhtälö yhdistetyksi epäyhtälöksi ja huomioimalla edellinen määritelmä, saadaan seuraavat säännöt:

Sääntö 8. Epäyhtälön ratkaisu on

( 6 )

Sääntö 9. Epäyhtälön ratkaisu on

( 7 )

Esimerkki 16. Ratkaistaan epäyhtälöt

a)
 -3 < 2x + 5 < 3
 -3 < 2x + 5  2x + 5 < 3
 -4 < x  x < -1
 -4 < x < -1.

b)
 2x + 5 < -3  2x + 5 > 3
 x < -4  x > -1.

Esimerkki 17. Ratkaistaan epäyhtälö.

Jos oikea puoli on negatiivinen, ei yhtälle ole ratkaisuja, joten

x + 1 > 0  x > -1
.

Ratkaistaan epäyhtälö tässä määritysjoukossa:

-(x + 1) < 2x - 4  2x - 4 < x + 1
 3 < 3x  x < 5
 1 < x < 5.

Koska koko väli kuuluu määritysjoukkoon, on ratkaisu silloin väli Rj = (1, 5).

Tehtävä 5. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt

a)

b)