<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Lineaarinen yhtälöryhmä

Esitiedot:lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen

Yhtälöparien tapaan voidaan ratkaista myös useamman lineaarisen yhtälön ryhmiä, lineaarisia yhtälöryhmiä. Nämä voidaan ratkaista samaan tapaan kuin lineaariset yhtälöparit, joskin muuttujien määrän kasvaessa työmäärä lisääntyy merkittävästi. Yhtälöryhmiä ratkaistaessa on aina otettava huomioon kaikki yhtälöt.

Esimerkki 12. Ratkaistaan yhtälöryhmä.

Ratkaistaan ensimmäinen yhtälö z:n suhteen: z = -2x - 3y. Sijoitetaan saatu lauseke kahteen muuhun yhtälöön z:n paikalle:

Ratkaistaan x yhteenlaskukeinolla



Sijoittamalla xy:n lausekkeeseen saadaan y = -2 ja sijoittamalla vielä x ja yz:n lausekkeeseen saadaan z = 4. Ratkaisujoukko om siis Rj = {(1, -2, 4)}.

Jos yhtälöitä on enemmän kuin muuttujia, ei yleensä ole sellaista muuttujien arvojen jonoa, joka toteuttaisi kaikki yhtälöt. Tämä johtuu siitä, että yhtälöryhmässä jokainen yhtälö asettaa muuttujien välille ehdon. Jos ehtoja on enemmän kuin muuttujia, ei ratkaisua useimmiten ole olemassa.

Esimerkki 13. Ratkaistaan yhtälöryhmä.

Jos valittaisi ainoastaan ensimmäinen ja toinen yhtälö, olisi ratkaisu (3, 1), mutta kolmas yhtälö ei toteudu tällä parilla. Samalla tapaa jos valittaisikin toinen ja kolmas yhtälö, niin ratkaisu olisi (-1, -7), joka ei kuitenkaan toteuta ensimmäistä yhtälö. Tälle yhtälöryhmälle ei löydy sellaista lukupari (xy), joka toteuttaisi kaikki kolme yhtälöä, joten Rj = Ø.

Jos yhtälöryhmässä on yhtälöitä vähemmän kuin muuttujia, niin yhtälöryhmän mahdollinen ratkaisu ei ole yksikäsitteinen, vaan ratkaisujoukko on ääretön.

Esimerkki 14. Ratkaistaan yhtälöryhmä muuttujien x ja y suhteen:




Ratkaisu on nyt riippuvainen muuttujan z arvosta, joka saadaan valita vapaasti:

.

Samat asiat pätevät lineaariset yhtälöryhmien ratkaisujen määrille kuin yhtälöparille, eli ratkaisuja voi olla nolla, tasan yksi tai ääretön määrä.

Tehtävä 4. Ratkaise yhtälöpari


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio