<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen

Esitiedot:lineaarisen yhtälön ratkaiseminen

Määritelmä 8. Kahdesta kahden muuttujan lineaarisesta yhtälöstä voidaan muodostaa kahden muuttujen lineaarinen yhtälöpari. Tällaisen yhtälöparin ratkaisujoukko on yksittäisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisujoukkojen leikkaus. Tästä yhtälöparista käytetään merkintää

( 5 )

Sen ratkaisujoukko siis koostuu sellaisista lukupareista (xy), jotka toteuttavat molemmat yhtälöt. Tällaisia lukupareja sanotaan yhtälöparin ratkaisuiksi.

Yllä olevan mukaisesti kahden muuttujan lineaarisen yhtälöparin ratkaisemisella tarkoitetaan sen ratkaisujoukon määrittämistä. Ratkaisemisen periaate on sama kuin yhtälöiden kohdalla: Muodostetaan alkuperäisen yhtälöparin kanssa yhtäpitäviä yhtälöpareja, kunnes päädytään sellaiseen, jonka ratkaisujoukko on suoraan todettavissa. Tässä pykälässä tarkastellaan kolmea eri ratkaisumenetelmää. Näissä tarkasteluissa viitataan kaavan ( 5 ) merkintöihin.

Menetelmä 1. Vertailukeinoa käytettäessä ratkaistaan parin molemmat yhtälöt toisen muuttujan (esimerkiksi y:n) suhteen. Yhtälöiden toiset puolet (eli muuttujat y) ovat tällöin samat, joten myös yhtälöiden x:n sisältävät puolet ovat samat. Näistä saadaan yhden muuttujan yhtälö. Tällöin siis toinen muuttuja on eliminoitu. Saadun yhtälön rinnalla yhtälöpariin täytyy ottaa jompi kumpi y:n suhteen ratkaistussa muodossa olevista yhtälöista.

Esimerkki 7. Ratkaistaan yhtälöpari vertailukeinolla.





Ratkaisujoukko .

Menetelmä 2. Sijoituskeinoa käytettäessä ratkaistaan jompikumpi yhtälöistä toisen muuttujan (esimerkiksi x:n) suhteen. Sijoitetaan saatu lauseke toiseen yhtälöön x:n paikalle, jolloin saadaan yhden muuttujan yhtälö. Toiseksi yhtälöksi pariin on kätevintä ottaa mainittu ratkaistussa muodossa oleva yhtälö.

Esimerkki 8. Ratkaistaan yhtälöpari sijoituskeinolla.





Ratkaisujoukko Rj = {(3, 1)}.

Menetelmä 3. Yhteenlaskukeinossa kerrotaan yhtälöt puolittain siten valituilla luvuilla, että yhtälöissä saadaan toisen muuttujan kertoimiksi vastaluvut. Laskemalla saaduissa yhtälöissä keskenään oikeat puolet ja vasemmat puolet yhteen päädytään yhden muutujan yhtälöön. Parin toiseksi yhtälöksi voidaan ottaa jompikumpi alkuperäisistä yhtälöistä.

Esimerkki 9. Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla.





Huomautus: Lineaarisella yhtälöryhmällä on aina joko täsmälleen yksi ratkaisu tai ääretön määrä ratkaisuja tai ei yhtään ratkaisua.

Esimerkki 10. Ratkaistaan yhtälöryhmä yhteenlaskukeinolla.


Yhteenlaskun tuloksena saadaan yhtälö 0 = 6, joka on identtisesti epätosi. Ei ole siis olemassa muuttujien x ja y paria, joka toteuttaisi yhtaikaa molemmat yhtälöt ja siten Rj = Ø.

Esimerkki 11. Ratkaistaan yhtälöryhmä vertailukeinolla.




Jälkimmäinen yhtälö 0 = 0 on identtisesti tosi, joten ratkaisuja on ääretön määrät, mutta muuttujia x ja y ei kuitenkaan voida valita täysin mielivaltaisesti, vaan niiden on toteutettava yhtälöryhmän yhtälöt. Tämä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi muuttujalle y voidaan valita mielivaltaisesti jokin arvo ja sen avulla laskea x:n arvo. Ratkaisujouko voidaan esittää muodossa

.

Tehtävä 3. Ratkaise yhtälöparit:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio