<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen

Esitiedot:itseisarvo, lineaarinen yhtälö

Määritelmä 5. Avoin yhtälö on identtinen (identtisesti epätosi tai tosi), jos sen ratkaisujoukko on joko tyhjäjoukko tai koko määrittelyjoukko. Muussa tapauksessa avoin yhtälö on ehdollinen.

Määritelmä 6. Kaksi yhtälöä ovat yhtäpitäviä, jos niiden ratkaisu- ja määrittelyjoukot ovat samat.

Yhtälö ratkaistaan sieventämällä sitä sellaiseen muotoon, että ratkaisujoukon toteaminen on mahdollista. Sieventämisellä tarkoitetaan sellaisia toimenpiteitä, joilla muodostetaan alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitäviä ja helpommin tulkittavia yhtälöitä. Seuraavilla reaalilukujen aksioomeihin perustuvilla sievennyssäännöillä voidaan muodostaa yhtäpitäviä yhtälöitä:

Sääntö 1. Laskutoimitusten suorittaminen yhtälön eri puolilla.

Esimerkki 4. Yhdistetään saman muotoiset termit:

x + 2x + 4 = x + 9 - 1.
 3x + 4 = x + 8.

Sääntö 2. Saman lausekkeen lisääminen tai vähentäminen yhtälön kumpaankin puoleen. Tämä voidaan käsittää myös lausekkeen siirtämisenä yhtälön puolelta toiselle siten, että samalla muutetaan tämän lausekkeen etumerkki. Lausekkeen tulee olla määritelty yhtälön määrittelyjoukossa. Toimenpide voidaan merkitä yhtälön oikealle puolelle pystyviivalla yhtälöstä erottamalla.

Esimerkki 4. (jatkuu) Vähennetään molemmilta puolilta lauseke x + 4, jotta yhtälön vasemmalta puolelta häviää vakiotermi 4 ja oikealta puolelta muuttuja x:


 3x + 4 - x - 4 = x + 8 - x - 4
 2x = 4.

Sääntö 3. Yhtälön kummankin puolen kertominen (tai jakaminen) samalla lausekkeella. Tämän lausekkeen tulee olla nollasta eroava. Siis mikäli yhtälö kerrotaan muuttujan sisältävällä lausekkeella, tulee varmistua siitä, että kyseisen lausekkeen nollakohdat eivät kuulu alkuperäisen yhtälön määrittelyjoukkoon.

Esimerkki 4. (jatkuu) Jaetaan yhtälö muuttujan x kertoimella 2:


 x = 2.

Huomatus: Sieventämällä saatu ratkaisu tulee aina tarkistaa tutkimalla, kuuluuko saatu muuttujan arvo määrittelyjoukkoon.

Esimerkki 4. (jatkuu) Tarkistetaan ratkaisun kelvollisuus: Koska 2  Mj, on Rj = {2}.

Tehtävä 1. Ratkaise yhtälö 4x + 3(3 - x) = -5x.

Määritelmä 7. Itseisarvoyhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa muuttuja esiintyy itseisarvolausekkeessa.

Yleisesti käyttökelpoinen menetelmä itseisarvoyhtälön ratkaisemiseksi on jakaa yhtälön määrittelyjoukko osajoukkoihin siten, että itseisarvomerkit ovat kussakin osajoukossa poistettavissa.

Esimerkki 5. Ratkaistaan yhtälö . Määritysjoukko Mj = R.

Koska itseisarvon määritelmän nojalla ehto

on voimassa, niin yhtälön ratkaiseminen jakaantuu kahteen osaan.

Kun Mj = {x  3}, niin -x + 3 = 2x x = 1 (1  3).

Kun Mj = {x > 3}, niin x - 3 = 2x x = -3  Mj.

Siis ratkaisujoukko Rj = {1}.

Esitetään vielä itseisarvoyhtälöiden ratkaisussa hyödyllisiä laskusääntöjä. Nämä laskusäännöt ovat seurausta itseisarvon määrittelystä.

Sääntö 4. Olkoon b  0. Tällöin

( 3 )   (a = b  -a = b).

Sääntö 5. Olkoot a ja b mielivaltaisia lausekkeita. Tällöin

( 4 )   (a = b  -a = b).

Esimerkki 6. Ratkaistaan . Määritysjoukko Mj = R.


 x + 1 = x - 2  x + 1 = -x + 2
 1 = - 2  2x = 1.

Ensimmäinen yhtälö on identtisesti epätosi, joten sen ratkaisujoukko on tyhjä joukko. Sensijaan toisen yhtälön ratkaisuna saadaan x = , joten itseisarvoyhtälön Rj = {}.

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio