<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Potenssi

Esitiedot:kunta-aksioomat

Merkinnällä an (lue: "a potenssiin n") tarkoitetaan lukua, joka saadaan kun kantalukua korotetaan eksponentinn osoittamaan potenssiin seuraavan määritelmän mukaan:

Määritelmä 1. Kun a  R ja n  Z+, niin tällöin potenssifunktio on

( 1 ).

Määritelmä 2. Erikoistapauksena määritetään potenssi, jossa eksponentti on nolla, jolloin kantaluku a  R - {0}:

( 2 )a0 = 1.

Määritelmä 3. Negatiiviset eksponentit tulkitaan käänteisluvuiksi. Kun a  R - {0} ja n  Z+, niin

( 3 ).

Potenssin laskusääntöjen määrittely tapauksessa, jossa luvut ab  R - {0} ja eksponentti on kokonaisluku, eli määritetään luvut mn  Z+.

Määritelmä 4. Samankantaisten potenssien kertolasku:

( 4 )aman = am+n.

Määritelmä 5. Samankantaisten potenssien jakolasku:

( 5 ).

Määritelmä 6. Kertolaskun potenssi:

( 6 )(ab)m = ambm.

Määritelmä 7. Jakolaskun potenssi:

( 7 ).

Määritelmä 8. Potenssin potenssi:

( 8 ).

Huomaa seuraava erona potenssin potenssille:

( 9 ).

Tässä on sulkujen avulla pyritty selventämään, mikä on viimekädessä eksponentti ja mikä kantaluku, sillä vakio m on a:lle sekä osa eksponenttia että n:lle kantaluku.

Esimerkki 1. Kantaluvun etumerkin käyttäytyminen potenssikaavoissa:

a) -52 = -(52) = -25

b) (-5)2 = (-5)  (-5) = (-1) 52 = 1  25 = 25

Negaatio on suoritusjärjestyksessä a)-kohdassa vasta potenssiin korotuksen jälkeen, sillä kantalukuna on 5. Sensijaan b)-kohdassa on suluin osoitettu, että kantaluku on -5.

c) (-10)7 = -107 = -10 000 000

d) (-10)8 = 108 = 100 000 000

Kun eksponentti on pariton, niin kantaluvussa oleva miinusmerkki säilyy, c)-kohdan tapaan, mutta parillisilla eksponentin arvoilla miinusmerkki katoaa. Kahdessa seuraavassa esimerkissä tämä on yleistetyssä muodossa, joka tulee usein esimerkiksi sarjoissa vastaan, n  Z+:

e) (-1)2n-1 = -1

f) (-1)2n = 1

Näissä esityksissä eksponentti 2n on kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla aina parillinen luku ja vastaavasti eksponentti 2n-1 on aina pariton.

Esimerkki 2. Negatiivisia potensseja:

a)

b)

c)

d)

Kuten esimerkistä b) ja c) havaitaan, ovat samat kantaluvun etumerkkisäännöt voimassa sekä negatiivisilla että positiivisilla eksponenteilla.

Esimerkki 3. Potensseja:

a) 32  25  33  2 = 25+1  32+3 = 26  35

b)

Tehtävä 1. Laske

a)

b)

c)

d)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio