<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Kompleksiset polynomit

Esitiedot:polynomi, kompleksiluku

Aiemmissa tarkasteluissa polynomien kertoimet ovat aina olleet reaalilukuja. Mikään ei kuitenkaan estä kirjoittamasta polynomia, jonka kertoimet ovatkin kompleksilukuja. Tällaista polynomia sanotaan kompleksikertoimiseksi polynomiksi. Esimerkikiksi polynomi (3 + iz2 - 2iz + 4 on kompleksikertoiminen. Näiden polynomien laskutoimitukset tapahtuvat aivan samoin kun reaalikertoimisten polynomien laskutoimitukset. Ainoana erona vain on se, että kertoimien laskutoimitukset tapahtuvat kompleksiluvuille määritellyllä tavalla.

Määritelmä 15. Kompleksikertoimisiin polynomeihin liittyy tärkeä algebranperuslause:

Olkoot a0, ..., an (n  1) kompleksilukuja ja an  0. Silloin polynomilla

( 40 ) anzn + an-1zn-1 + ...+ a1z + a0

on ainakin yksi nollakohta kompleksilukujen joukossa.

Tämän avulla voidaan osoittaa, että astetta n olevalla polynomilla on kompleksialueella n kappaletta nollakohtia.

Tehtävä 12.

a) Jos p(x) on reaalikertoiminen polynomi ja p() = 0, niin osoita että .

b) Reaalikertoimisen 5. asteen polynomin p(x) = x5 + ... nollakohtia ovat 1, i ja 1 + i. Mikä on polynomi p?


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio