Esitiedot:polynomi, kompleksiluku
Aiemmissa tarkasteluissa polynomien kertoimet ovat aina olleet reaalilukuja. Mikään ei kuitenkaan estä kirjoittamasta polynomia, jonka kertoimet ovatkin kompleksilukuja. Tällaista polynomia sanotaan kompleksikertoimiseksi polynomiksi. Esimerkikiksi polynomi (3 + i) z2 - 2iz + 4 on kompleksikertoiminen. Näiden polynomien laskutoimitukset tapahtuvat aivan samoin kun reaalikertoimisten polynomien laskutoimitukset. Ainoana erona vain on se, että kertoimien laskutoimitukset tapahtuvat kompleksiluvuille määritellyllä tavalla.
Määritelmä 15. Kompleksikertoimisiin polynomeihin liittyy tärkeä algebranperuslause:
Olkoot a0, ..., an (n 
1) kompleksilukuja ja an 
0. Silloin polynomilla
( 40 ) anzn + an-1zn-1 + ...+ a1z + a0
on ainakin yksi nollakohta kompleksilukujen joukossa.
Tämän avulla voidaan osoittaa, että astetta n olevalla polynomilla on kompleksialueella n kappaletta nollakohtia.
Tehtävä 12.
a) Jos p(x) on reaalikertoiminen polynomi ja p(
) = 0, niin osoita että 
.
b) Reaalikertoimisen 5. asteen polynomin p(x) = x5 + ... nollakohtia ovat 1, i ja 1 + i. Mikä on polynomi p?