<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Napakoordinaattiesitys

Esitiedot:trigonometristen funktioiden laskukaavoja, kompleksitaso

Määritelmä 12. Eulerin kaava:

( 20 ) ei = cos() + isin(),

jossa e on Neperin luku (2,71828...), i on imaginaariyksikkö ja   R. Tätä voidaan käyttää hyväksi kompleksilukujen esityksissä.

Määritelmä 13. Kompleksilukua vastaavalle pisteelle voidaan osoittimen avulla määrittää kompleksiluvun napakoordinaattiesitys eli kulmamuoto. Jokainen kompleksiluku z voidaan esittää napakoordinaattimuodossa:

( 21 ) z = r (cos() + isin()) = r  eir ,

missä r on osoittimen pituus ja on vaihekulma. Kompleksiluvun z kulmamuodon r  ja summamuodon a + ib välillä on seuraavat yhteydet:

Kuva 2. Kompleksiluvun vaihekulma ja pituus kompleksitasossa.

( 22 ) a = r cos(),

( 23 ) b = r sin(),

( 24 )

( 25 )

Kulman suuruutta määritettäessä on pidettävä huolta, että sen etumerkki on oikea. Kaava nimittäin aina antaa kulman väliltä [0, ] ja jos imaginaarikomponentti on negatiivinen, on kulmankin etumerkki negatiivinen

Esimerkki 6. Kappaleen "Kompleksiluvun itseisarvo" esimerkin lukujen kulmamuodot ovat:

a) 4,8 = 4,80

b)

c)     0,850 rad

-2 + 3i  3,6060,850

Esimerkki 7. Lasketaan kompleksiluvun z = -3 - 4i pääargumentti:

    0,927 rad

Koska kulma on kolmannessa neljänneksessä, on arg(z) = -( -  -2,214 rad.

Esimerkki 8. Esitetään kompleksiluku z = 3,7-2,6 summamuodossa:

Reaaliosa: a = 3,7cos(-2,6)  -3,170

Imaginaariosa: b = 3,7sin(-2,6)  -1,907

Summamuoto: z = a + ib  -3,170 - 1,907i

Esimerkki 9. Kompleksiluvut z1 ja z2 ovat

z1 = r1(cos(1) + isin(1))
z2 = r2(cos(2) + isin(2)).

Tällöin

z1z2 = (r1 cos(1), r1 sin(1))(r2 cos(2), r2 sin(2))

= (r1r2 (cos(1) cos(2)- sin(1) sin(2)), r1r2 (cos(1) sin(2) + sin(1) cos(2)))

= (r1r2 cos(1 + 2), r1r2 sin(1 + 2)) = 

Jos z2  (0, 0), niin

ja saadaan

( 26 )

Esimerkki 10. Jos z = r  ei, kun k  Z+, on

( 27 )

( 28 ) z0 = r0  ei0 = cos(0) + isin(0) = 1, z  (0, 0)

( 29 ) , z  (0, 0).

Yleensä kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku kannattaa tehdä summamuodossa kun taas kerto- ja jakolasku sekä potenssiinkorotus on helppoa kulmamuodossa.

Esimerkki 11. z1 = -5 - 12i = 13 e-i1,966, z2 = -8 + 6i = 10 ei2,498.

z1 + z2 = -13 - 6i

z1z2 = 130 ei0,532 = 112 + 66i

 = 1,3 e-i4,464 = 1,3 ei1,819 = -0,32 + i1,26

z23 = 103 ei7,494 = 1000 ei1,211 = 352 + 936i.

Tehtävä 6. Olkoon z = 1 + i ja w = 4 - 3i. Laske

a) arg(z)

b) arg(w)

Tehtävä 7. Laske in, kun n  Z.

Tehtävä 8. Olkoon z = 1 + i. Laske z6.

Tehtävä 9.

a) Osoita, että (cos()+ isin())k = cos(k) + isin(k), k  Z+.

b) Esitä cos(3) ja sin(3) lausekkeiden cos() ja sin() avulla.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio