<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Kompleksilukujen joukko

Esitiedot:potenssi

Lukualueiden laajentaminen ei pysähtynyt vielä reaalilukuihin. Havaittiin nimittäin, että kaikilla reaalilukukertoimisilla yhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujoukossa. Tällainen yhtälö on esimerkiksi x2 + 1 = 0.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi kehitettiin niin sanottu imaginaariyksikkö, jota merkitään matematiikassa symbolilla i ja esimerkiksi sähköopissa symbolilla j. Kun normaalisti kaikkien lukujen neliö on ei-negatiivinen, niin imaginaariyksikön neliö on negatiivinen, eli i2 = -1.

Määritelmä 1. Kompleksilukujen joukolla C tarkoitetaan järjestettyjen reaalilukuparien (xy) joukkoa:

( 1 ) .

Merkitsemällä z1 = (x1y1) ja z2 = (x2y2) on voimassa

( 2 ) z1 = z2  x1 = x2  y1 = y2.

Kompleksilukujen yhteenlasku (+) ja kertolasku () määritellään seuraavasti:

( 3 ) z1 + z2 = (x1 + x2y1 + y2),

( 4 ) z1z2 = (x1x2 - y1y2x1y2 + x2y1).

Määritelmä 2. Kaavojen ( 3 ) ja ( 4 ) laskutoimituksilla C on kunta eli kompleksiluvuilla on voimassa samat laskulait kuin reaaliluvuilla.

Määritelmä 3. C:n nolla-alkio on (0, 0).

Määritelmä 4. C:n yksikköalkio on (1, 0).

Määritelmä 5. Kompleksiluvun z = (xy) vastaluku on -z = (-x, -y)

Määritelmä 6. Kompleksiluvun z  (0, 0) käänteisluku on

( 5 )

Myös vähennys- ja jakolasku sekä kokonaislukupotenssi määritellään kuten reaaliluvuilla (k  Z+):

( 6 ) z1 - z2 = z1 + (-z2),

( 7 )

Potenssien laskulait ovat kuten reaalilukujen kokonaislukupotensseilla.

( 8 )

( 9 ) z0 = 1, z  (0, 0),

( 10 ) , z  (0, 0).

Kompleksiluvuille ei ole määritelty järjestysominaisuutta niin kuin reaaliluvuille.

Koska kompleksilukua (x, 0) vastaa täsmälleen yksi reaaliluku, voidaan ne samaistaa ja merkitä

( 11 ) (x, 0) = x.

Tällä sopimuksella R  C ja voimme laskea:

( 12 ) (0, 1)(0, 1) = (00 - 11, 01 + 01) = (-1, 0) = -1.

Määritelmä 7. Merkitsemällä i = (0, 1) on

( 13 ) i2 = ii = -1.

Esimerkki 1.  R, z = (xy C

cz = (c, 0)(xy) = (cx - 0ycy + 0x) = (cxcy).

Tulon vaihdannaisuuden vuoksi on tietenkin cz = zc. Erityisesti ic = ci = (0, c).

Tehtävä 1. Laske kompleksilukujen z1 = (-2, 3) ja z2 = (0, 1) summa ja tulo.

Tehtävä 2. Määritä kompleksiluvun z = (3, 4) vastaluku ja käänteisluku.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio