Esitiedot:potenssi
Lukualueiden laajentaminen ei pysähtynyt vielä reaalilukuihin. Havaittiin nimittäin, että kaikilla reaalilukukertoimisilla yhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujoukossa. Tällainen yhtälö on esimerkiksi x2 + 1 = 0.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi kehitettiin niin sanottu imaginaariyksikkö, jota merkitään matematiikassa symbolilla i ja esimerkiksi sähköopissa symbolilla j. Kun normaalisti kaikkien lukujen neliö on ei-negatiivinen, niin imaginaariyksikön neliö on negatiivinen, eli i2 = -1.
Määritelmä 1. Kompleksilukujen joukolla C tarkoitetaan järjestettyjen reaalilukuparien (x, y) joukkoa:
( 1 ) 
.
Merkitsemällä z1 = (x1, y1) ja z2 = (x2, y2) on voimassa
( 2 ) z1 = z2 
x1 = x2 
y1 = y2.
Kompleksilukujen yhteenlasku (+) ja kertolasku (
) määritellään seuraavasti:
( 3 ) z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),
( 4 ) z1z2 = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1).
Määritelmä 2. Kaavojen ( 3 ) ja ( 4 ) laskutoimituksilla C on kunta eli kompleksiluvuilla on voimassa samat laskulait kuin reaaliluvuilla.
Määritelmä 3. C:n nolla-alkio on (0, 0).
Määritelmä 4. C:n yksikköalkio on (1, 0).
Määritelmä 5. Kompleksiluvun z = (x, y) vastaluku on -z = (-x, -y)
Määritelmä 6. Kompleksiluvun z 
(0, 0) käänteisluku on
( 5 ) 
Myös vähennys- ja jakolasku sekä kokonaislukupotenssi määritellään kuten reaaliluvuilla (k 
Z+):
( 6 ) z1 - z2 = z1 + (-z2),
( 7 ) 
Potenssien laskulait ovat kuten reaalilukujen kokonaislukupotensseilla.
( 8 ) 
( 9 ) z0 = 1, z (0, 0),
( 10 ) 
, z (0, 0).
Kompleksiluvuille ei ole määritelty järjestysominaisuutta niin kuin reaaliluvuille.
Koska kompleksilukua (x, 0) vastaa täsmälleen yksi reaaliluku, voidaan ne samaistaa ja merkitä
( 11 ) (x, 0) = x.
Tällä sopimuksella R 
C ja voimme laskea:
( 12 ) (0, 1)(0, 1) = (00 - 11, 01 + 01) = (-1, 0) = -1.
Määritelmä 7. Merkitsemällä i = (0, 1) on
( 13 ) i2 = ii = -1.
Esimerkki 1. c R, z = (x, y) C
cz = (c, 0)(x, y) = (cx - 0y, cy + 0x) = (cx, cy).
Tulon vaihdannaisuuden vuoksi on tietenkin cz = zc. Erityisesti ic = ci = (0, c).
Tehtävä 1. Laske kompleksilukujen z1 = (-2, 3) ja z2 = (0, 1) summa ja tulo.
Tehtävä 2. Määritä kompleksiluvun z = (3, 4) vastaluku ja käänteisluku.