<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Joukkojen perusoperaatioita

Esitiedot:joukkojen määritelmiä

Määritelmä 13. Venn-diagrammi on joukon esittämiskuva, jossa suljetun viivan rajoittama alue kuvaa joukon kaikkia alkioita. Alkioiden ominaisuudet ja lukumäärät eivät ilmene Venn-diagrammista. Diagrammin avulla voidaan helposti esittää erilaisia joukko-operaatioita.

Tarkastellaan seuraavaksi joukko- operaatioita perusjoukossa E ja havainnoistetaan niitä Venn-diagrammin avulla. Tässä esityksessä määriteltävän operaation tulosjoukko on merkitty varjostuksella diagrammiin.

Määritelmä 14. Joukon A komplementti -A (lue: "komplementti A") on joukko, joka koostuu niistä E:n alkioista, jotka eivät kuulu joukkoon A.

( 12 ) .

Määritelmä 15. Joukkojen A ja B leikkausA  B (lue: "A leikkaus B") koostuu niistä E:n alkiosta jotka kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B:n.

( 13 ) .

Määritelmä 16. Joukkojen A ja B yhdiste eli unioniA  B (lue: "A yhdiste B") koostuu niistä E:n alkioista, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B. Alkiot saavat kuulua samanaikaisesti molempiin joukkoihin.

( 14 ) .

Määritelmä 17. Joukkojen A ja B erotusA - B (lue: "A pois B") koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät kuulu joukkoon B.

( 15 ) .

Esimerkki 7. E = {1, ..., 9}, A = {1, 2, 5, 6, 7}, B = {2, 6, 9}.

a) -A = {3, 4, 8, 9}

b) A  B = {2, 6}

c) A  B = {1, 2, 5, 6, 7, 2, 6, 9} = {1, 2, 5, 6, 7, 9}

d) A - B = {1, 5, 7}

Esimerkki 8. Yksinkertaistetaan seuraavia esityksiä:

a) A  E.

Koska perusjoukko E sisältää kaikki osajoukkonsa A alkiot, on tällöin joukkojen unionissa kaikki E:n alkiot, joten vastaus on E.

b) A  Ø.

Koska tyhjä joukko ei sisällä yhtään alkiota, ei joukolla A voi olla sen kanssa ainuttakaan yhteistä alkiota, joten vastaus on Ø.

c) - (-A).

Joukkoon -A kuuluvat kaikki ne perusjoukon E alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A. Joten kun joukosta A poistetaan alkioita, jotka eivät alunperinkään kuulu siihen, niin tällöin vastauksena saadaan alkuperäinen joukko, eli A.

Tehtävä 1. Olkoon E = Z, A = N0, B = Z-. Määritä

a) A  B

b) A  B

c) Onko voimassa: -B  A?


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio