<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Joukkojen määritelmiä

Esitiedot:alkio ja joukko

Joukko- opissa tarkastelut rajoittuvat aina tietyn tyyppisiin olioihin. Ne muodostavat tällöin perusjoukon. Perusjoukosta käytetään tässä merkintää E.

Määritelmä 5. PerusjoukkoE sisältää kaikki mahdolliset esiin tulevat alkiot.

Erikoistapauksena joukoista mainittakoon tyhjäjoukko Ø, jolle toisinaan käytetään myös merkintää { }.

Määritelmä 6. Tyhjässä joukossa Ø ei ole yhtään alkiota. Joukkoa, jossa on ainakin yksi alkio, sanotaan ei-tyhjäksi.

Määritelmä 7. Joukko A on joukon B osajoukko täsmälleen silloin, kun jokainen A:n alkio kuuluu joukkoon B. Silloin merkitään:

( 5 ) A  B (lue: "joukko A on joukon B osajoukko").

Jos joukko A ei ole joukon B osajoukko, eli A:ssa on joukkoon B kuulumattomia alkioita, merkitään:

( 6 ) A  B (lue: "A ei ole B:n osajoukko").

Määritelmä 8. Joukko A ja B ovat samajoukko täsmälleen silloin, kun niillä on samat alkiot. Tällöin merkitään:

( 7 ) A = B (lue: "A on (sama kuin) B").

Tämä voidaan ilmaista myös toisin:

( 8 ) jos A  B ja B  A, niin A = B.

Määritelmä 9. Mikäli joukko A ei ole sama kuin joukko B, niin ne ovat eri joukot ja voidaan merkitä:

( 9 ) A  B (lue: "A on eri joukko kuin B").

Määritelmä 10. Joukko A on joukon B aito osajoukko, jos A  B ja A  B. ja tällöin merkintään:

( 10 ) A  B (lue: "joukko A on joukon B aito osajoukko").

Osajoukon määrittelystä seuraa, että tyhjä joukko on kaikkien ei-tyhjien joukkojen aito osajoukko. Lisäksi todettakoon, että joukko on aina itsensä osajoukko, mutta se ei tällöin kuitenkaan ole aito osajoukko.

Esimerkki 3. Luvun "Alkio ja joukko" esimerkissä 1 perusjoukko on {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja B  A.

Esimerkki 4. Joukot A = {b, a, c} ja B = {a, c, b} ovat samat. Myös joukko C = {a, b, b, c} on sama kuin A ja B, mutta yleensä alkiot esiintyvät vain kerran.

Esimerkki 5. Joukko C = {1, 2, 3}. Sen kaikki osajoukot ovat: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} ja {1, 2, 3}. Näistä viimeistä lukuunottamatta kaikki ovat C:n aitoja osajoukkoja.

Määritelmä 11. Silloin, kun joukon alkioiden järjestyksellä ja lukumäärällä on merkitystä, puhutaan järjestetyistä joukoista. Tämä ilmaistaan tavallisesti siten, että aaltosulkujen sijasta käytetään tavallisia sulkuja.

Esimerkki 6. Joukot A = (b, a, c), B = (a, c, b) ja C = (a, b, b, c) ovat kaikki eri joukkoja eli A  B, A  C ja B  C.

Määritelmä 12. Kahden joukon A ja B tulo on tulojoukkoA  B, jossa alkiona ovat parit (ab), missä a  A ja b  B, siis

( 11 ) .

Huomaa, että kyseessä on järjestetty pari, eli ensimmäinen alkio a on ensimmäisestä joukosta A ja toinen alkio b toisesta joukosta B.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio