<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Epäoleellisista integraaleista

Esitiedot:määrätty integraali

Määrätyn integraalin määrittelyssä oletetaan, että integroitava on jatkuva integroimisvälillä, joka puolestaan on rajoitettu. Määrätyn integraalin käsitettä voidaan kuitenkin huomattavasti laajentaa.

Tässä luvussa tarkastellaan kahta laajennusta. Määrätty integraali voidaan määritellä integraalifunktion avulla myös sellaisissa tapauksissa, missä integroitavalla on epäjatkuvuuskohtia integroimisvälillä tai integroimisväli ei ole rajoitettu. Tällaisia integraaleja sanotaan epäoleellisiksi integraaleiksi.

Tarkastellaan aluksi tapausta, jossa integroitava on epäjatkuva integroimisvälin toisessa päätepisteessä.

Määritelmä 26. Olkoon f jatkuva puoliavoimella välillä [ab). Tällöin on olemassa funktio F siten, että F '(x) = f(x), kun x  [ab). Jos integraalifunktiolla F on toispuoleinen raja-arvo

,

niin määrätty integraali

( 43 )

Vastaavalla tavalla määritellään tapaus, jossa integroitava funktio on epäjatkuva integroimisvälin alarajalla.

Määritelmä 27. Olkoon integroitavalla funktiolla f on integroimisvälillä [ab] epäjatkuvuuskohtac. Tällöin integrointi on suoritettava paloittain. Jos epäoleelliset integraalit

ja

ovat olemassa, niin määritellään määrätty integraali

( 44 )

Lopuksi tarkastellaan tilannetta, jossa integroimisväli on ääretön.

Määritelmä 28. Olkoon f jatkuva välillä [a). Jos f:n integraalifunktiolla on raja-arvo

niin määrätty integraali

( 45 )

Vastaava käsittely voidaan tehdä myös lähestyttäessä -: Jos raja-arvo

on olemassa, niin silloin

( 46 )

Mikäli epäoleellinen integraali on olemassa, sanotaan että integraali suppenee. Muutoin integraali hajaantuu.

Esimerkki 13. Lasketaan funktion x-1 integraali välillä [-1, 1]. Koska integroimisaluella on epäjatkuvuus kohta nollassa, on integrointi suoritettava paloittain:

Nämä paloittaiset integraalit eivät kuitenkaan ole olemassa, joten määrättyä integraalia ei ole olemassa eli integraali hajaantuu. Toisaalta tämä tarkoittaa sitä, että funktion rajoittaman alueen pinta-ala on ääretön.

Esimerkki 14. Lasketaan epäoleellinen integraali:

.

Integraali suppenee ja funktion rajoittama pinta-ala on äärellinen.

Tehtävä 14. Tutki seuraavien integraalien suppeneminen:

a)

b)

c)

d)


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio