<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Kappaleen tilavuus

Esitiedot:määrätty integraali

Määritelmä 22. Kappaletta rajoittavat yhtenäinen pinta S sekä kaksi x-akselia vastaan kohtisuoraan asetettua tasoa. Nämä leikatkoon x-akselin kohdissa a ja b. Olkoon x jokin välin [ab] piste. Asetetaan sen kautta x-akselia vastaan kohtisuora taso. Olkoon A(x) pinnan S tästä tasosta erottaman kuvio ala. Oletamme, että pinta S täyttää säännöllisyysehdon: Funktio x  A(x) on jatkuva välillä [ab]. Tällöin kappaleen tilavuus on

( 39 )

Kuva 8. Pinnan S rajaama kappale

Yllä tarkastellaan kappaleen tilavuutta melko yleissä tapauksessa. Ainoana rajoituksena tässä tarkastelussa on se, että x-akselia vastaan kohtisuorien tasojen tulee rajoittaa tarkasteltavaa kappaletta. Siis pinta S ei voi olla mielivaltainen.

Perehdytään seuraavaksi pyörähdyskappaleisiin, jotka syntyvät jonkin käyrän tai joidenkin käyrien pyörähtäessä x-akselin ympäri.

Määritelmä 23. Olkoon funktio f jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [ab]. Kun käyrä y = f(x) pyörähtää x-akselin ympäri täyden kierroksen, muodostuu eräs pinta. Tämä pyörähdyspinta ja kohtiin a ja b asetetut x-akselia vastaan kohtisuorat tasot rajoittavat pyörähdyskappaleen. Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus

( 40 )

Kuva 9. Käyrän y = f(x) pyörähtäessä rajaama kappale.

Määritelmä 24. Olkoot funktiot f ja g jatkuvia välillä [ab] ja f(x g(x) > 0. Kun käyrät y = f(x) ja y = g(x) pyörähtävät x-akselin ympäri, muodostuu kaksi pintaa, jotka eivät leikkaa toisiaan. Nämä pinnat ja kohtiin a ja b asetetut x-akselia vastaan kohtisuorat tasot rajoittavat pyörähdyskappaleen. Tämän kappaleen tilavuus

( 41 )

Kuva 10. Käyrien y = f(x) ja y = g(x) pyörähtäessä rajaama kappale.

Viimeisenä tapauksena tarkastellaan hieman erilaista pyörähdyskappaletta. Pyörähdysakseli on tässäkin tapauksessa x-akseli, mutta kappaleen rajoittavat pinnat ovat oleellisesti erilaiset aiempiin tapauksiin verrattuna. Tällä kertaa rajoittavana käyrä on muuttujan y funktion kuvaaja.

Määritelmä 25. Käyrä x = f(y) toteuttaa ehdon  y  [cd] : f(y) > 0, 0  c < d. Kun käyrän väliltä y  [cd] oleva osa sekä suorat y = c ja y = d pyörähtävät x-akselin ympäri ja katkaistaan kappale y-akselin oikealle puolelle, syntyy kappale, jonka tilavuus on

( 42 )

Kuva 11. Käyrän x = f(y), suorien y = c ja y = d sekä x-akselin rajaama alue.

Kuva 12. Edellisen kuvan alueen  x-akselin ympäri pyörähtäessä muodostama kappale.

Animaatio 1.Pyörähdyskappaleen tilavuuden määrittäminen.

Tehtävä 10. Jos kartio asetetaan koordinaatistoon siten, että sen kärki on origossa ja pystyakseli on positiivisen x-akselin suuntainen, niin akseliin nähden kohtisuoran leikkauspinnan ala voidaan lausua muodossa A(x) = x2. Määritä kartion tilavuus, kun x  [0, h].

Tehtävä 11. Käyrä pyörähtää x-akselin ympäri. Määritä syntyneen kappaleen tilavuus, kun x  [-].

Tehtävä 12. Paraabelit y = x2 ja y = -x2 + 2x rajoittavat tason alueen.

a) Määritä alueen pinta-ala.

b) Määritä kappaleen tilavuus, joka syntyy alueen pyörähtäessä x-akselin ympäri.

Tehtävä 13. Vasemmalle aukeavan paraabelin yhtälö voidaan esittää muodossa


 x = -y2 + 4y - 3

Laske kappaleen tilavuus, joka syntyy paraabelin y-akselin oikeanpuolisen osuuden pyörähtäessä x-akselin ympäri.


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio