<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Käyrän rajoittama pinta-ala

Esitiedot:määrätty integraali

Määritelmä 20. Olkoon funktio f jatkuva välillä [ab]. Tällöin on käyrän y = f(x), x-akselin sekä suorien x = a ja x = b rajoittaman alueen ala

( 37 )

Kuva 5. Positiivisen funktion rajoittama pinta-ala

Kuva 6. Yleisen funktion rajoittama pinta-ala

Esimerkki 11. Määritetään sinin yhden jakson ja vaaka-akselin rajaama pinta-ala:

Itseisarvo saadaan integroitavasta pois tekemällä paloittain integrointi ja valitsemalla väleiksi [0, ] jolloin sin(x 0, ja [, 2] jolloin sin(x 0,


= [-cos() - -cos(0)] + [cos(2) - cos()] = -(-1) + 1 + 1 -(-1) = 4.

Tarkastellaan seuraavaksi kahden käyrän rajoittaman alueen pinta-alaa.

Määritelmä 21. Olkoot f ja g jatkuvia funktioita siten, että  x  [ab] : f(x g(x). Tällöin suorien x = a ja x = b väliin jäävän alueen, jota rajoittaa ylhäältä käyrä y = f(x) ja alhaalta käyrä y = g(x), pinta-ala on

( 38 )

Kuva 7. Funktioiden rajoittaman alueen pinta-ala

Esimerkki 12. Määritetään funktioiden f(x) = x2 ja g(x) = x + 2 kuvaajien rajaaman alueen pinta-ala.

Ratkaistaan ensin leikkauspisteet:

f(x) = g(x)
 x2 = x + 2
 x2 - x - 2 = 0
 x = -1  x = 2.

Tällä välillä f(x g(x), joten pinta-ala on


Tehtävä 8. Määritä käyrien y = x3 ja y = x + 5 väliin jäävä pinta-ala, kun x on välillä [1, -1].

Tehtävä 9. Trigonometristen funktioiden sin(x) ja cos(x) käyrät leikkaavat muun muassa pisteissä ja . Määritä sen alueen pinta-ala, joka jää näiden funktioiden kuvaajien väliin tällä välillä.


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio