<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Integraalilaskennan väliarvolause

Esitiedot:integroimisääntöjä

Olkoon funktio f jatkuva välillä [ab]. Tällöin f:n integraalifunktio F on jatkuva ja derivoituva tällä välillä. Differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa kohta t  (ab) siten, että

F(b) - F(a) = F '(t)(b - a)
 F(b) - F(a) = f(t)(b - a).

Toisaalta

joten

Määritelmä 19. Integraalilaskennan väliarvolause: Jos funktio f on jatkuva välillä [ab], niin on olemassa kohta t  (ab) siten, että

( 36 )

Kohdan t ei tarvitse olla yksikäsitteinen, vaan niitä saattaa olla useitakin funktion muodosta riippuen. Sensijaan funktion arvo näissä kohdissa on aina sama.

Esimerkki 10. Määritetään luvun etumerkki seuraavissa tapauksissa:

a) a < b ja f(x) > 0,

b) a < b ja f(x) < 0,

c) a > b ja f(x) > 0,

d) a > b ja f(x) < 0.

Integraalilaskennan väliarvolauseen perusteella on olemassa sellainen kohta t  (ab), jossa integraali voidaan lausua muodossa I = f(t)(b - a), joten I:n etumerkki määräytyy tämän tulon mukaan.

a) (b - a) > 0  f(t) > 0  I > 0.

b) (b - a) > 0  f(t) < 0  I < 0.

c) (b - a) < 0  f(t) > 0  I < 0.

d) (b - a) < 0  f(t) < 0  I > 0.


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio