<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Määrätty integraali

Esitiedot:integroiminssääntöjä, tasokuvion ala

Määritellään integraali välisummien avulla:

Määritelmä 12. Funktio f on integroituva suljetulla välillä [ab], jos välisumman raja-arvo

missä n on osavälien määrä ja x on osavälin leveys, on olemassa millaisella osavälin pisteen ti valinnalla tahansa.

Määritelmä 13. Funktion f määrätty integraalia:sta b:hen on

( 27 )

Määrätty ingraali voidaan laskea myös f:n integraalifunktion F arvojen F(b) ja F(a) erotuksena

( 28 )

Integraalimerkin ylä- ja alapuolelle merkittyjä lukuja b ja a sanotaan määrätyn integraalin ylärajaksi ja alarajaksi. Niiden määräämää suljettua väliä [ab] tai [ba] nimitetään integroimisväliksi.

Aiemmissa tarkasteluissa integroitava funktio on oletettu kaikkialla määrittelyjoukossaan jatkuvaksi. Voidaan todistaa, että tämä takaa integraalifunktion olemassaolon. Siis myös vastaava määrätty integraali on olemassa. Itse asiassa jo siitä, että integroitava on jatkuva integroimisvälillä, seuraa määrätyn integraalin olemassaolo.

Määrittelynsä mukaisesti funktion f määrätty integraali on siis reaaliluku. Sen laskemiseksi määritetään aluksi jokin f:n integraalifunktio F. Tämän jälkeen lausekkeeseen F(x) sijoitetaan integroimisrajat b ja a. Tätä vaihetta merkitään

( 29 )

Tämän jälkeen lasketaan erotus F(b) - F(a), joka on määrätyn integraalin arvo.

Koska määrätyn integraalin arvo ei riipu integroimisvakiosta, niin määrätyn integraalin arvoa laskettaessa integroimisvakiota ei tarvitse merkitä näkyviin.

Esimerkki 9.

.

Määrätyn integraalin eräät ominaisuudet palautuvat integraalifunktion vastaaviin ominaisuuksiin, vakion siirto ja summan integroiminen ovat tällaisia ominaisuuksia. Seuraavaksi tarkastellaan sellaisia ominaisuuksia, jotka liittyvät nimenomaan määrättyyn integraaliin.

Määritelmä 14. Olkoon luvut a, b ja c annettuja, a < c < b ja f jatkuva funktio välillä [ab]. Silloin yhtälö

( 30 )

on voimassa. Tästä ominaisuudesta sanotaan, että määrätty integraali on additiivinen integroimisvälin suhteen ja puhutaan paloittain integroimisesta.

Määritelmä 15. Osittaisintegroinnin kaava on määrätyn integraalin tapauksessa muotoa

( 31 )

Määritelmä 16. Määrätyn integraalin arvoa laskettaessa integroimisrajat voidaan vaihtaa keskenään, mikäli myös integraalin etumerkki vaihdetaan.

( 32 )

Määritelmä 17. Suoraan määrätyn integraalin määritelmästä seuraa, että

( 33 )

Määritelmä 18. Parilliselle funktiollef(x) ja parittomalle funktiolleg(x)on voimassa

( 34 )

( 35 )

Tehtävä 7. Määritä seuraavien määrättyjen integraalien arvot:

a)

b)

c)

d)


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio