<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Tasokuvion ala

Esitiedot:funktion raja-arvo

Tarkastellaan aluetta, jota rajoittavat x-akseli, pystysuorat x = a ja x = b (a < b) sekä yhtenäinen käyrä y = f(x) > 0.

Kuva 1. Tasosta erotettu pinta

Jaetaan alue osaväleihin, joita on n  Z+ kappaletta, jolloin jakopisteet ovat

x0 = a, x1, x2, ..., xn = b

ja jakovälit ovat siten

[x0x1], [x1x2], ..., [xn-1, xn].

Valitaan jako siten, että alueet ovat keskenään saman levyisiä, jolloin kunkin välin leveys on

Väli [ab] on siis jaettu osaväleihin

[aa + x], [a + xa + 2x], ..., [b - x, b].

Valitaan aluksi kullekin välille käyrän alapuolelta sellainen suurin mahdollinen korkeus mi, jolla väliin piirretty suorakulmio on jokaisessa pisteessä käyrän alapuolella. Laskemalla yhteen kaikkien välien alhaalta rajoitettujen suorakulmioiden pinta-alat, saadaan käyrän rajoittamalle pinta-alalle alaraja.

Kuva 2. Tasoalueen alasumma.

( 23 )

Valitaan seuraavaksi kullekin välille käyrän yläpuolelta sellainen pienin mahdollinen korkeus Mi, jolla väliin piirretty suorakulmio on jokaisessa pisteessä käyrän yläpuolella. Laskemalla yhteen kaikkien välien ylhäältä rajoitettujen suorakulmioiden pinta-alat, saadaan käyrän rajoittamalle pinta-alalle yläraja.

Kuva 3. Tasoalueen yläsumma.

( 24 )

Muuttujan n kutakin arvoa vasta lukujonot (sn) ja (Sn). Jos jakoa tihennetään rajatta eli n kasvaa kohti ääretöntä, saadaan suppenevat sarjat, joiden raja-arvo on yhtäsuuri ja sama kuin pinnan ala, joten

( 25 )

Todistetaan, että ala- ja yläsumman raja-arvot ovat yhtäsuuret eli pinta-ala A on olemassa:

Valitaan funktio f(x) siten, että se on kasvava välillä [ab]. Millä tahansa osavälillä [xi-1xi] funktio saa pienimmän arvonsa alarajalla, jolloin mi = f(xi-1) ja suurimman arvonsa ylärajalla, jolloin Mi = f(xi). Ala-  ja yläsumma saavat muodon

Näiden summien erotus saa muodon

ja raja-arvo on

Koska yläsumma on aina alasummaa suurempi ja erotusten raja-arvo on nolla, lähestyvät sekä ala- että yläsumma samaa raja-arvoa. Vaikka edellinen todistus on esitetty vain kasvavalle funktiolle, voidaan sitä laajentaa myös väheneville funktioille ja edelleen paloittain monotonisille funktioille.

Kuva 4. Tasoalueen välisumma.

Jos valitaan jokin piste ti  [xi-1xi], niin silloin mi  f(ti Mi. Muodostamalla välisumma

( 26 )

saadaan summa, joka ala- ja yläsumman tapaan suppenee myös kohti arvoa A.


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio