<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Rationaalifunktioiden integrointi

Esitiedot:osamurtohajotelma, integroimisääntöjä

Kahden polynomin osamäärää sanotaan rationaalilausekkeeksi. Vastaavasti rationaalilausekkeella määriteltyä funktiota sanotaan rationaalifunktioksi. Tällaisen funktion integroiminen edellyttää yleensä polynomien jakolaskun suorittamista ja jakojäännöksen muokkaamista osamurtohajotelman avulla integroinnin kannalta helpompaan muotoon. Käydään tässä läpi vain muutama tapaus.

Määritelmä 10. Mikäli nimittäjä voidaan jakaa ensimmäisen asteisiin tekijöihin, saadaan osamurtohajotelmalla vain sellaisia termejä, joiden integraali on logaritmifunktio.

Esimerkki 7. Lasketaan integraali .

Koska integroitavan nimittäjä on korkeampaa astetta kuin osoittaja, ei jakolaskua voida suorittaa. Sen sijaan nimittäjä voidaan jakaa kahteen erilliseen linaariseen tekijään. Tämän perusteella integroitavan funktion osamurtohajotelma on

ja


Määritelmä 11. Mikäli rationaalilausekkeen nimittäjä on muotoa f(x) = x2 + px + q > 0 on jaoton, niin silloin on olemassa sellainen ensimmäisen asteinen funktio g(x), joka toteuttaa ehdon f(x) = a2 + g(x)2, a > 0, joten

( 22 )

Jos f(x) < 0, viedään etumerkki koko integraalin eteen ja jatketaan edellisen tapaan.

Esimerkki 8. Lasketaan integraali .

Nimittäjä f(x) = x2 + 4x + 7 on jaoton, sillä yhtälön f(x) = 0 diskriminantti D = -12. Etsitään paraabelin y = f(x) huipun koordinaatit:

f '(x) = 2x + 4 = 0, joten x0 = -2 ja y0 = f(-2) = 3.

Paraabelia on nyt "laskettava alaspäin" huipun y -koordinaatin verran, jotta sille saataisi kaksoisjuuri:

f(x) - 3 = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
 f(x) = 3 + (x + 2)2,

joten saadaan


Tehtävä 6. Määritä seuraavat integraalit:

a)

b)

c)

d)


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio