<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Sisäfunktio ja integraali

Esitiedot:funktion ominaisuuksia, integroimissääntöjä

Kappaleen "Integroimissääntöjä" integroimiskaavat ovat yksinkertaisia peruskaavoja. Tilanne muuttuu huomattavasti vaikeammaksi, jos muuttujan x paikalla on jokin sen lauseke. Seuraavaksi tarkastellaan keinoja tällaisen tilanteen hallitsemiseksi.

Määritelmä 7. Yhdistetyn funktion integroiminen, mikäli integroitavassa on myös sisäfunktion derivaatta:

( 17 )  g'(f(x)) f '(xdx = g(f(x)) + C.

Esimerkki 3. Ratkaistaan integraali  cos(x2) 2xdx. Tässä on sisäfunktio f(x) = x2, jonka derivaatta on f '(x) = 2x. Ulkofunktion g(y) = sin(y) derivaatta on g'(y) = cos(y), joten saadaan

 cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C.

Erikoistapauksena mainittakoon sellainen integroitava funktio, jonka ulkofunktiona on potenssifunktio. Tällöin viimeinen integroimiskaava saa muodon

( 18 )

Esimerkki 4. Ratkaistaan integraali:

Yhdistetyn funktion integrointiin perustuva integroimismenettely vaatii kekseliäisyyttä tai kokeiluja integroitavan saattamiseksi muotoon g'(f(x)) f '(x). Menetelmä voidaan kuitenkin saattaa mekaaniseksi niin että ainoa keksittävä on f(x). Tällöin ajatellaan, että alkuperäisestä muuttujasta x siirrytään muuttujanvaihdon kautta uuteen muuttujaan t = f(x), jolloin dt = f '(xdx.

Määritelmä 8. Ratkaisu integrointimuuttujan vaihdon avulla voidaan yleisesti esittää kaavalla

( 19 )  g'(f(x)) f '(xdx =  g'(tdtg(t) + Cg(f(x)) + C.

Esimerkki 5. Ratkaistaan integraali:

Olkoon t = 2x3 - 3x, jolloin dt = (6x2 - 3) dx = 3(2x2 - 1) dx, joten


Kertolaskun derivoimissäännön

D(f(x)g(x)) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

mukaan on

f(x)g'(x) = D(f(x)g(x)) - g(x)f '(x).

Integroimalla tämä yhtälö puolittain saadaan:

Määritelmä 9. Osittaisintegrointi

( 20 )  f(x)g'(xdx = f(x)g(x) -  g(x)f '(xdx.

Osittaisintegrointia voidaan käyttää muotoa  f(x)g'(xdx  olevan integraalin laskemiseksi seuraavien ehtojen ollessa voimassa:

1. Funktio g'(x) on vaivattomasti integroitavissa.

2. Integraali  g(x)f '(xdx on helpommin laskettavissa kuin  f(x)g'(xdx.

Usein osittaisintegroinnin kaava kirjoitetaan lyhyempään muotoon

( 21 )  u dv = uv -  v du,

missä u vastaa yllä olevan saman kaavan funktiota f(x) ja v vastaa kyseisen kaavan funktiota g(x). Siis dv = g'(xdx ja du = f '(xdx.

Esimerkki 6. Ratkaistaan integraali

Olkoon u = x2 ja . Tällöin du = 2x dx ja . Osittaisintegroinnin kaavan mukaan saadaan yhtälö

Tehtävä 4. Määritä seuraavat integraalit:

a)

b)

c)

Tehtävä 5. Määritä seuraavat integraalit osittaisintegroinnilla:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio