Esitiedot:funktion ominaisuuksia, integroimissääntöjä
Kappaleen "Integroimissääntöjä" integroimiskaavat ovat yksinkertaisia peruskaavoja. Tilanne muuttuu huomattavasti vaikeammaksi, jos muuttujan x paikalla on jokin sen lauseke. Seuraavaksi tarkastellaan keinoja tällaisen tilanteen hallitsemiseksi.
Määritelmä 7. Yhdistetyn funktion integroiminen, mikäli integroitavassa on myös sisäfunktion derivaatta:
( 17 ) 
g'(f(x)) f '(x) dx = g(f(x)) + C.
Esimerkki 3. Ratkaistaan integraali cos(x2) 2xdx. Tässä on sisäfunktio f(x) = x2, jonka derivaatta on f '(x) = 2x. Ulkofunktion g(y) = sin(y) derivaatta on g'(y) = cos(y), joten saadaan
cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C.
Erikoistapauksena mainittakoon sellainen integroitava funktio, jonka ulkofunktiona on potenssifunktio. Tällöin viimeinen integroimiskaava saa muodon
( 18 ) 
Esimerkki 4. Ratkaistaan integraali:
Yhdistetyn funktion integrointiin perustuva integroimismenettely vaatii kekseliäisyyttä tai kokeiluja integroitavan saattamiseksi muotoon g'(f(x)) f '(x). Menetelmä voidaan kuitenkin saattaa mekaaniseksi niin että ainoa keksittävä on f(x). Tällöin ajatellaan, että alkuperäisestä muuttujasta x siirrytään muuttujanvaihdon kautta uuteen muuttujaan t = f(x), jolloin dt = f '(x) dx.
Määritelmä 8. Ratkaisu integrointimuuttujan vaihdon avulla voidaan yleisesti esittää kaavalla
( 19 ) g'(f(x)) f '(x) dx = g'(t) dt = g(t) + C = g(f(x)) + C.
Esimerkki 5. Ratkaistaan integraali:
Olkoon t = 2x3 - 3x, jolloin dt = (6x2 - 3) dx = 3(2x2 - 1) dx, joten
Kertolaskun derivoimissäännön
D(f(x)g(x)) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
mukaan on
f(x)g'(x) = D(f(x)g(x)) - g(x)f '(x).
Integroimalla tämä yhtälö puolittain saadaan:
Määritelmä 9. Osittaisintegrointi
( 20 ) f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - g(x)f '(x) dx.
Osittaisintegrointia voidaan käyttää muotoa f(x)g'(x) dx olevan integraalin laskemiseksi seuraavien ehtojen ollessa voimassa:
1. Funktio g'(x) on vaivattomasti integroitavissa.
2. Integraali g(x)f '(x) dx on helpommin laskettavissa kuin f(x)g'(x) dx.
Usein osittaisintegroinnin kaava kirjoitetaan lyhyempään muotoon
( 21 ) u dv = uv - v du,
missä u vastaa yllä olevan saman kaavan funktiota f(x) ja v vastaa kyseisen kaavan funktiota g(x). Siis dv = g'(x) dx ja du = f '(x) dx.
Esimerkki 6. Ratkaistaan integraali
Olkoon u = x2 ja 
. Tällöin du = 2x dx ja 
. Osittaisintegroinnin kaavan mukaan saadaan yhtälö
Tehtävä 4. Määritä seuraavat integraalit:
a) 
b) 
c) 
Tehtävä 5. Määritä seuraavat integraalit osittaisintegroinnilla:
a) 
b) 
c) 