<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Integroimissääntöjä

Esitiedot:trigonometristen funktioiden derivaatat, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat, integraalilaskennan peruslause

Funktion f mielivaltaisesta integraalifunktiosta käytetään merkintää  f ja sen arvosta kohdassa x käytetään merkintää  f(xdx. Tässä d-kirjaimen jäljessä tuleva kirjain ilmoittaa sen muuttujan, jonka suhteen integroidaan. Siis

( 2 )  f(xdx = F(x) + C,

kun F on jokin f:n integraalifunktio.

Näiden merkintöjen avulla esitetään luettelo keskeisistä integroimissäännöistä:

Määritelmä 4. Derivaattafunktion integraalifunktio on alkuperäinen funktio täydennettynä integroimisvakiolla.

( 3 )  f '(xdx = f(x) +C.

Esimerkki 1. Ratkaistaan integraali:

Määritelmä 5. Vakiotekijällä c kertominen voidaan suorittaa integroinnin jälkeen.

( 4 )  cf(xdx = c  f(xdx.

Määritelmä 6. Yhteenlaskun integraalifunktio on yhteenlaskettavien funktioiden integraalifunktioiden summa eli

( 5 )  f(x+ g(x)dx =  f(xdx +  g(xdx.

Potenssifunktio integraali, kun n  Z - {-1}

( 6 )

Esimerkki 2. Ratkaistaan integraali:

Tehtävä 1. Määritä seuraavat integraalit:

a)  4x3 + x + 5 dx

b)  7x-6 + 3x-4 + x-2 dx

c)  x100 + x-100 dx

Seuraavaksi luetellaan joukko tunnettujen funktioiden derivaattoja. Edellinen kaava ei ole voimassa, kun n = -1 ja tässä tapauksessa integraali on

( 7 )

kun x  0. Koska myös negatiiviset x:n arvot ovat sallittuja, mutta logaritmin argumettina saa olla vain positiivinen luku, on siksi muuttujasta x otettava itseisarvo. Huomaa, että integroimismuuttuja merkitään usein osoittajaan seuraavasti:

( 8 )  ex dx = ex + C,

( 9 )

( 10 )  sin(xdx = -cos(x)+ C,

( 11 )  cos(xdx = sin(x)+ C,

( 12 )

( 13 )

( 14 )

( 15 )

( 16 )

Tehtävä 2. Määritä seuraavat integraalit:

a)  10x dx

b)  10 ex dx

Tehtävä 3. Määritä seuraavat integraalit:

a)

b)

c)

d)

e)


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio